Показательное распределение примеры. Показательный закон распределения
Отметим здесь основные понятия и формулы, связанные с показательным распределением непрерывной случайной величины $X$ не вдаваясь в подробности их вывода.
Определение 1
Показательным или экспоненциальным распределения непрерывной случайной величины $X$ называется распределение, плотность которого имеет вид:
Рисунок 1.
График плотности показательного распределения имеет вид (рис. 1):
Рисунок 2. График плотности показательного распределения.
Функция показательного распределения
Как нетрудно проверить, функция показательного распределения имеет вид:
Рисунок 3.
где $\gamma $ - положительная константа.
График функции показательного распределения имеет вид:
Рисунок 4. График функции показательного распределения.
Вероятность попадания случайной величины при показательном распределении
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$ при показательном распределении вычисляется по следующей формуле:
Математическое ожидание : $M\left(X\right)=\frac{1}{\gamma }.$
Дисперсия : $D\left(X\right)=\frac{1}{{\gamma }^2}.$
Среднее квадратическое отклонение: $\sigma \left(X\right)=\frac{1}{\gamma }$.
Пример задачи на показательное распределение
Пример 1
Случайная величина $X$ подчиняется экспоненциальному закону распределения. На участке области определения $\left \
Экспоненциальный закон распределения называемый также основным законом надежности, часто используют для прогнозирования надежности в период нормальной эксплуатации изделий, когда постепенные отказы еще не проявились и надежность характеризуется внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность. Экспоненциальное распределение находит довольно широкое применение в теории массового обслуживания, описывает распределение наработки на отказ сложных изделий, время безотказной работы элементов радиоэлектронной аппаратуры.
Приведем примеры неблагоприятного сочетания условий работы деталей машин, вызывающих их внезапный отказ. Для зубчатой передачи это может быть действием максимальной нагрузки на наиболее слабый зуб при его зацеплении; для элементов радиоэлектронной аппаратуры - превышение допустимого тока или температурного режима.
Плотность распределения экспоненциального закона (рис. 1) описывается соотношением
f (x ) = λe −λ x ; (3)
функция распределения этого закона - соотношением
F (x ) = 1− e −λ x ; (4)
функция надежности
P (x ) = 1− F (x ) = e −λ x ; (5)
математическое ожидание случайной величины Х
дисперсия случайной величины Х
(7)
Экспоненциальный закон в теории надежности нашел широкое применение, так как он прост для практического использования. Почти все задачи, решаемые в теории надежности, при использовании экспоненциального закона оказываются намного проще, чем при использовании других законов распределения. Основная причина такого упрощения состоит в том, что при экспоненциальном законе вероятность безотказной работы зависит только от длительности интервала и не зависит от времени предшествующей работы.
Риc. 1. График плотности экспоненциального распределения
Пример 2. По данным эксплуатации генератора установлено, что наработка на отказ подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ=2*10 -5 ч -1 . Найти вероятность безотказной работы за время t =100 ч. Определить математическое ожидание наработки на отказ.
Р е ш е н и е. Для определения вероятности безотказной работы воспользуемся формулой (5), в соответствии с которой
Математическое ожидание наработки на отказ равно
Непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный ) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид :
(12.1)
Здесь постоянная положительная величина. Т.о. показательное распределение определяется одним положительным параметром . Найдем интегральную функцию показательного распределения:
(12.3)
Рис. 12.1. Дифференциальная функция показательного распределения ()
Рис. 12.2. Интегральная функция показательного распределения ()
Числовые характеристики показательного распределения
Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:
Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:
Т.к. 
, то остается вычислить :
Подставив (12.6) в (12.5), окончательно получим:
(12.7)
Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.
Пример 1. Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр .
Решение . а) Плотность распределения имеет вид:
б) Соответствующая интегральная функция равна:
Пример 2. Найти вероятность попадания в заданный интервал для СВ , распределенной по экспоненциальному закону
Решение . Найдем решение, вспомнив, что: . Теперь с учетом (12.3) получим:
Функция надежности
Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того "простое" оно или "сложное". Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную СВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью определяется интегральной функцией:
. (12.8)
Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью равна вероятности противоположного события, т.е.
Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью .
Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:
. (12.10)
Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (12.9) функция надежности будет равна:
. (12.11)
Пример 3.
Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону 
при ( время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.
Решение . В нашем примере , тогда воспользуемся (12.11):
Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:
Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени (при заданной интенсивности отказов ).
Докажем это свойство, введя следующие обозначения:
безотказная работа элемента на интервале длительностью ;
Тогда событие состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале длительностью . Найдем вероятности этих событий по формуле (12.11), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:
Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:
(12.13)
Мы видим, что полученная формула не зависит от , а только от . Сравнивая (12.12) и (12.13) можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью , вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.
Итак, в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента "в прошлом" не сказывается на величине вероятности его безотказной работы "в ближайшем будущем".
Элементы комбинаторики
Пространство элементарных событий. Случайные события.
Вероятность
Современное понятие вероятности
Классическая вероятностная схема
Геометрические вероятности
Закон сложения вероятностей
Теорема умножения вероятностей
Формула полной вероятности
Теорема гипотез. Формула Байеса.
Повторение испытаний. Схема Бернулли.
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Теорема Пуассона (Закон редких событий)
Случайные величины
Функции распределения
Непрерывная случайная величина и плотность распределения
Основные свойства плотности распределения
Числовые характеристики одномерной случайной величины
Свойства математического ожидания
Моменты случайной величины
Свойства дисперсии
Асимметрии и эксцесс
Многомерные случайные величины
Свойства двумерной функции распределения
Плотность вероятности двумерной случайной величины
Задача Бюффона
Условная плотность распределения
Числовые характеристики системы случайных величин
Свойства коэффициента корреляции
Нормальный (гауссов) закон распределения
Вероятность попадания на интервал
Свойства нормальной функции распределения
Распределение ("хи–квадрат")
Показательный (экспоненциальный) закон распределения
Числовые характеристики показательного распределения
Функция надежности
Определение. Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью
где l - положительное число.
Найдем закон распределения.
Графики функции распределения и плотности распределения:
f(x) F(x)
Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению.
Результат получен с использованием того факта, что
Для нахождения дисперсии найдем величину М(Х 2).
Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим:
Тогда
Итого: Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны.
Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.
Показательное распределение широко используется в теории надежности .
Допустим , некоторое устройство начинает работать в момент времени t 0 =0 , а через какое - то время t происходит отказ устройства.
Обозначим Т непрерывную случайную величину - длительность безотказной работы устройства.
Таким
образом
, функция распределения F(t) = P(T
Вероятность противоположного события (безотказная работа в течение времени t ) равна R(t) = P(T>t) = 1 - F(t).
Определение. Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t .
Часто на практике длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределению.
Вообще говоря , если рассматривать новое устройство, то вероятность отказа в начале его функционирования будет больше, затем количество отказов снизится и будет некоторое время иметь практически одно и то же значение. Затем (когда устройство выработает свой ресурс) количество отказов будет возрастать.
Другими словами , можно сказать, что функционирование устройства на протяжении всего существования (в смысле количества отказов) можно описать комбинацией двух показательных законов (в начале и конце функционирования) и равномерного закона распределения.
Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна:
Данное соотношение называют показательным законом надежности .
Важным свойством , позволяющим значительно упростить решение задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t .
Таким образом , безотказная работа устройства зависит только от интенсивности отказов l и не зависит от безотказной работы устройства в прошлом.
Так как подобным свойством обладает только показательный закон распределения, то этот факт позволяет определить, является ли закон распределения случайной величины показательным или нет.
2.8 Распределение «Хи-квадрат»
Пусть X i (i=1,2,…,n) - нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение - единице. Тогда сумма квадратов этих величин
распределена по закону («Хи-квадрат») с k=n степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы k=n-1.
Плотность этого распределения
где 
-Гамма-функция; в частности,
Отсюда видно , что распределение «Хи-квадрат» определяется одним параметром - числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.
2.9 Распределение Стьюдента
Пусть Z -нормальная случайная величина, причем M(Z)=0, s(Z)=1, а V- независимая от Z величина, которая распределена по закону с k степенями свободы. Тогда величина
имеет распределение, которое называют t- распределением или распределением Стьюдента, k степенями свободы. Итак отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону
«Хи-квадрат» с k степенями свободы , деленной на k, деленной на k распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы. . С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.
2.9 Нормальный закон распределения
Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности
Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса .
Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.
Можно легко показать , что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.
Найдем функцию распределения F(x) .
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса .
Нормальная кривая обладает следующими свойствами:
1 ) Функция определена на всей числовой оси.
2 ) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.
3 ) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х , значение функции стремится к нулю.
4 ) Найдем экстремум функции.
Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный .
5 ) Функция является симметричной относительно прямой х = а , т.к. разность
(х - а ) входит в функцию плотности распределения в квадрате.
6 ) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.
При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.
Непрерывная случайная величина $X$ подчиняется показательному (экспоненциальному) закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей $f\left(x\right)$ имеет следующий вид:
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
\lambda e^{-\lambda x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right..$$
Тогда функция распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
1-e^{-\lambda x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$$
Графики функций плотности $f\left(x\right)$ и распределения $F\left(x\right)$ представлены на рисунке:
Для показательного закона распределения числовые характеристики могут быть вычислены по известным формулам. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны между собой и равны $1/\lambda $, то есть:
$$M\left(X\right)=\sigma \left(X\right)={{1}\over {\lambda }}.$$
Дисперсия :
$$D\left(X\right)={{1}\over {{\lambda }^2}}.$$
Параметр распределения $\lambda $ в статистическом смысле характеризует среднее число событий, наступающих в единицу времени. Так, если средняя продолжительность безотказной работы прибора равна $1/\lambda $, то параметр $\lambda $ будет характеризовать среднее число отказов в единицу времени. Примерами случайных величин, подчиненных показательному закону распределения, могут быть:
- Продолжительность телефонного разговора;
- Затраты времени на обслуживание покупателя;
- Период времени работы прибора между поломками;
- Промежутки времени между появлениями автомашин на автозаправочной станции.
Пример
. Случайная величина $X$ распределена по показательному закону $f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
5e^{-5x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$. Тогда математическое ожидание $=$ стандартное отклонение $\sigma (X)=1/\lambda =1/5=0,2$, дисперсия $D(X)=1/{\lambda }^2=1/25=0,04.$
Пример . Время работы прибора - случайная величина $X$, подчиненная показательному распределению. Известно, что среднее время работы данного прибора составляет $500$ часов. Какова вероятность того, что данный прибор проработает не менее $600$ часов?
Математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=500=1/\lambda $, отсюда параметр распределения $\lambda =1/500=0,002.$ Можем записать функцию распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
1-e^{-\lambda x}=1-e^{-0,002x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$$
Тогда вероятность того, что прибор проработает менее $600$ часов, равна:
$$P\left(X\ge 600\right)=1-P\left(X < 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$