Exemple de distribuție exponențială. Legea distribuției exponențiale
Să notăm aici conceptele și formulele de bază asociate cu distribuția exponențială a unei variabile aleatoare continue $X$ fără a intra în detalii despre derivarea lor.
Definiția 1
O distribuție exponențială sau exponențială a unei variabile aleatoare continue $X$ este o distribuție a cărei densitate are forma:
Figura 1.
Graficul densității distribuției exponențiale arată astfel (Fig. 1):
Figura 2. Diagrama densității distribuției exponențiale.
Funcția de distribuție exponențială
După cum se poate verifica cu ușurință, funcția de distribuție exponențială are forma:
Figura 3.
unde $\gamma $ este o constantă pozitivă.
Graficul funcției de distribuție exponențială arată astfel:
Figura 4. Graficul funcției de distribuție exponențială.
Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare cu distribuție exponențială
Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să se încadreze în intervalul $(\alpha ,\beta)$ cu distribuție exponențială se calculează folosind următoarea formulă:
Așteptări matematice: $M\left(X\right)=\frac(1)(\gamma ).$
Varianta: $D\left(X\right)=\frac(1)((\gamma )^2).$
Abatere standard: $\sigma \left(X\right)=\frac(1)(\gamma )$.
Exemplu de problemă de distribuție exponențială
Exemplul 1
Variabila aleatoare $X$ se supune unei legi de distribuție exponențială. Pe porțiunea domeniului definiției $\left\
Legea distribuției exponențiale numită și legea de bază a fiabilității, este adesea folosită pentru a prezice fiabilitatea în timpul funcționării normale a produselor, când eșecuri treptate nu au apărut încă și fiabilitatea este caracterizată eșecuri bruște. Aceste eșecuri sunt cauzate de o combinație nefavorabilă a mai multor circumstanțe și, prin urmare, au un caracter permanent intensitate. Distribuția exponențială este destul de utilizată în teoria stării de așteptare, descrie distribuția timpului între defecțiuni ale produselor complexe și timpul de funcționare fără defecțiuni a elementelor echipamentelor electronice.
Să dăm exemple de combinație nefavorabilă de condiții de funcționare pentru piesele mașinii care provoacă defecțiunea bruscă a acestora. Pentru un tren de viteze, acesta poate fi efectul sarcinii maxime asupra celui mai slab dinte pe măsură ce acesta se cuplează; pentru elementele echipamentelor electronice - depășirea condițiilor admise de curent sau temperatură.
Densitatea de distribuție a legii exponențiale (Fig. 1) este descrisă de relația
f(x) = λ e −λ x; (3)
funcţia de distribuţie a acestei legi este relaţia
F(x) = 1− e −λ x; (4)
functie de fiabilitate
P(x) = 1− F(x) = e −λ x; (5)
așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X
varianță ale variabilei aleatoare X
(7)
Legea exponențială în teoria fiabilității și-a găsit o aplicare largă, deoarece este simplă pentru utilizare practică. Aproape toate problemele rezolvate în teoria fiabilității se dovedesc a fi mult mai simple atunci când se utilizează legea exponențială decât atunci când se folosesc alte legi de distribuție. Motivul principal al acestei simplificări este că, cu o lege exponențială, probabilitatea de funcționare fără defecțiuni depinde numai de durata intervalului și nu depinde de timpul funcționării anterioare.
Smochin. 1. Graficul densității distribuției exponențiale
Exemplul 2. Pe baza datelor de funcționare ale generatorului s-a stabilit că timpul dintre defecțiuni respectă o lege exponențială cu parametrul λ=2*10 -5 h -1 . Găsiți probabilitatea de funcționare fără defecțiuni în timp t=100 de ore. Determinați așteptarea matematică a timpului dintre eșecuri.
Soluție Pentru a determina probabilitatea de funcționare fără defecțiuni, folosim formula (5), conform căreia
Așteptarea matematică a timpului dintre eșecuri este
O variabilă aleatoare continuă are exponenţială (exponenţială )legea distribuției cu parametru dacă densitatea sa de probabilitate are forma:
(12.1)
Aceasta este o valoare pozitivă constantă. Că. distribuția exponențială este determinată de un parametru pozitiv . Să găsim funcția integrală a distribuției exponențiale:
(12.3)
Orez. 12.1. Funcția de distribuție exponențială diferențială ()
Orez. 12.2. Funcția de distribuție exponențială cumulativă ()
Caracteristicile numerice ale distribuției exponențiale
Să calculăm așteptările matematice și varianța distribuției exponențiale:
Pentru a calcula varianța, vom folosi una dintre proprietățile acesteia:
Deoarece 
, atunci rămâne de calculat:
Înlocuind (12.6) în (12.5), obținem în final:
(12.7)
Pentru o variabilă aleatoare distribuită conform legii exponențiale, așteptarea matematică este egală cu abaterea standard.
Exemplul 1. Scrieți funcțiile diferențiale și integrale ale distribuției exponențiale dacă parametrul .
Soluţie. a) Densitatea de distribuție are forma:
b) Funcția integrală corespunzătoare este egală cu:
Exemplul 2. Aflați probabilitatea de a cădea într-un interval dat pentru un SV distribuit conform unei legi exponențiale
Soluţie. Să găsim o soluție, amintindu-ne că: . Acum, ținând cont de (12.3), obținem:
Funcția de fiabilitate
Vom numi un dispozitiv un element, indiferent dacă este „simplu” sau „complex”. Lăsați elementul să înceapă să funcționeze în acest moment, iar după o perioadă de timp are loc o defecțiune. Să notăm cu SV continuu durata funcționării fără defecțiuni a elementului. Dacă elementul funcționează fără defecțiune (înainte de apariția unei defecțiuni) pentru un timp mai mic de , atunci, în consecință, va apărea o defecțiune pe durata acesteia. Astfel, probabilitatea de eșec durata în timp este determinată de funcția integrală:
. (12.8)
Atunci probabilitatea de funcționare fără defecțiuni pentru aceeași durată de timp este egală cu probabilitatea evenimentului opus, adică.
Funcția de fiabilitateeste o funcție care determină probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a unui element într-o perioadă de timp.
Adesea, durata funcționării fără defecțiuni a unui element are o distribuție exponențială, a cărei funcție integrală este egală cu:
. (12.10)
Apoi, în cazul distribuției exponențiale a timpului de funcționare fără defecțiuni a elementului și luând în considerare (12.9), funcția de fiabilitate va fi egală cu:
. (12.11)
Exemplul 3. Timpul de funcționare fără defecțiuni al elementului este distribuit conform legii exponențiale 
la (timp în ore). Găsiți probabilitatea ca elementul să funcționeze fără defecțiune timp de 100 de ore.
Soluţie. În exemplul nostru, atunci vom folosi (12.11):
Legea fiabilității exponențiale este foarte simplă și convenabilă pentru rezolvarea problemelor practice. Această lege are următoarea proprietate importantă:
Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a unui element pe un interval de timp de lungime nu depinde de timpul de funcționare anterioară înainte de începerea intervalului luat în considerare, ci depinde doar de durata de timp.(la o rată de eșec dată).
Să demonstrăm această proprietate introducând următoarea notație:
funcționarea fără defecțiuni a elementului pe un interval de ;
Apoi, evenimentul este că elementul funcționează fără defecțiuni pentru un interval de durată. Să găsim probabilitățile acestor evenimente folosind formula (12.11), presupunând că timpul de funcționare fără defecțiuni al elementului este supus legii exponențiale:
Să găsim probabilitatea condiționată ca un element să funcționeze fără defecțiuni într-un interval de timp, cu condiția ca acesta să fi funcționat deja fără defecțiuni în intervalul de timp anterior:
(12.13)
Vedem că formula rezultată nu depinde de , ci numai de . Comparând (12.12) și (12.13), putem concluziona că probabilitatea condiționată de funcționare fără defecțiuni a unui element într-un interval de durată , calculată în ipoteza că elementul a funcționat fără defecțiuni în intervalul anterior, este egală cu necondiționată probabilitate.
Deci, în cazul legii fiabilității exponențiale, funcționarea fără defecțiuni a unui element „în trecut” nu afectează probabilitatea funcționării sale fără defecțiuni „în viitorul apropiat”.
Elemente de combinatorie
Spațiul evenimentelor elementare. Evenimente aleatorii.
Probabilitate
Conceptul modern de probabilitate
Schema probabilistica clasica
Probabilități geometrice
Legea adunării probabilităților
Teorema înmulțirii probabilităților
Formula probabilității totale
Teorema ipotezelor. Formula lui Bayes.
Repetarea testelor. Schema Bernoulli.
Teorema locală a lui Moivre-Laplace
Teorema integrală Moivre-Laplace
Teorema lui Poisson (Legea evenimentelor rare)
Variabile aleatorii
Funcții de distribuție
Variabilă aleatorie continuă și densitate de distribuție
Proprietățile de bază ale densității de distribuție
Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare unidimensionale
Proprietățile așteptărilor matematice
Momente ale unei variabile aleatorii
Proprietăți de dispersie
Deformare și curtoză
Variabile aleatoare multivariate
Proprietățile funcției de distribuție bidimensională
Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare bidimensionale
Problema lui Buffon
Densitatea de distribuție condiționată
Caracteristicile numerice ale unui sistem de variabile aleatoare
Proprietățile coeficientului de corelație
Legea distribuției normale (Gauss).
Probabilitatea de a atinge intervalul
Proprietățile funcției de distribuție normală
Distribuție (chi-pătrat)
Legea distribuției exponențiale
Caracteristicile numerice ale distribuției exponențiale
Funcția de fiabilitate
Definiţie. Exponenţial este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, care este descrisă de densitate
unde l este un număr pozitiv.
Să găsim legea distribuției.
Funcția de distribuție și graficele densității de distribuție:
f(x) F(x)
Să găsim așteptările matematice ale unei variabile aleatoare supuse distribuției exponențiale.
Rezultatul se obține folosind faptul că
Pentru a găsi dispersia, găsim valoarea M(X 2).
Integrând pe părți de două ori, similar cazului considerat, obținem:
Apoi 
Total: Se poate observa că, în cazul distribuției exponențiale, așteptarea matematică și abaterea standard sunt egale.
De asemenea, este ușor de determinat probabilitatea ca o variabilă aleatoare supusa legii distribuției exponențiale să se încadreze într-un interval dat.
Distribuția exponențială este utilizată pe scară largă în teoria fiabilității.
Să zicem, unele dispozitive începe să funcționeze în momentul de față t 0 =0, și după ceva timp t dispozitivul eșuează.
Să notăm T variabilă aleatorie continuă - durata funcționării fără defecțiuni a dispozitivului.
Aşa mod, funcție de distribuție F(t) = P(T
Probabilitate opusul evenimentelor(funcționare fără defecțiuni în timp t) este egal cu R(t) = P(T>t) = 1 - F(t).
Definiţie. Funcția de fiabilitateR(t) este o funcție care determină probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a unui dispozitiv în timp t.
Adesea pe practica Durata de funcționare fără defecțiuni este supusă unei legi de distribuție exponențială.
Deloc vorbitor, Dacă luați în considerare un dispozitiv nou, atunci probabilitatea de defecțiune la începutul funcționării acestuia va fi mai mare, apoi numărul defecțiunilor va scădea și va avea aproape aceeași valoare pentru o perioadă de timp. Apoi (când dispozitivul își epuizează resursele) numărul defecțiunilor va crește.
Alţii cuvinte, putem spune că funcționarea unui dispozitiv pe întreaga sa existență (din punct de vedere al numărului de defecțiuni) poate fi descrisă printr-o combinație a două legi exponențiale (la începutul și la sfârșitul funcționării) și o lege uniformă de distribuție.
Funcția de fiabilitate pentru orice dispozitiv conform legii de distribuție exponențială este egală cu:
Acest raport se numește legea exponenţială a fiabilităţii.
Proprietate importantă, care face posibilă simplificarea semnificativă a soluționării problemelor de teorie a fiabilității, este că probabilitatea funcționării fără defecțiuni a unui dispozitiv într-un interval de timp t nu depinde de timpul lucrării anterioare înainte de începerea intervalului luat în considerare, ci depinde doar de durata de timp t.
Aşa mod, funcționarea fără defecțiuni a dispozitivului depinde numai de rata de defecțiune l și nu depinde de funcționarea fără defecțiuni a dispozitivului în trecut.
Deoarece are o proprietate similară doar o lege de distribuție exponențială, atunci acest fapt ne permite să stabilim dacă legea de distribuție a unei variabile aleatoare este sau nu exponențială.
2.8 Distribuția chi-pătrat
Fie X i (i=1,2,…,n)- variabile aleatoare independente normale, iar așteptarea matematică a fiecăreia dintre ele este egală cu zero, iar abaterea standard este egală cu unu. Apoi suma pătratelor acestor mărimi
distribuite conform legii („Chi-pătrat”) cu k=n grade de libertate; dacă aceste mărimi sunt legate printr-o relație liniară, de exemplu, atunci numărul de grade de libertate k=n-1.
Densitatea acestei distribuții
Unde 
-Funcția gamma; în special,
De aici vizibil că distribuția Chi-pătrat este determinată de un parametru - numărul de grade de libertate k. Pe măsură ce numărul de grade de libertate crește, distribuția se apropie încet de normal.
2.9 Distribuția elevilor
Fie Z o variabilă aleatorie normală, cu M(Z)=0, s(Z)=1 și V o variabilă independentă de Z, care este distribuită conform legii cu k grade de libertate. Apoi valoarea
are o distribuție numită distribuție t sau distribuție Student, k grade de libertate. Deci raportul dintre variabila normală normalizată și rădăcina pătrată a unei variabile aleatoare independente distribuite conform legii
« Chi-pătrat cu k grade de libertate, împărțit la k, împărțit la k este distribuit conform legii lui Student cu k grade de libertate. . Pe măsură ce numărul de grade de libertate crește, distribuția se apropie încet de normal.
2.9 Legea distribuției normale
Definiţie. Normal este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care este descrisă de densitatea de probabilitate
Legea distribuției normale se mai numește și legea lui Gauss.
Legea distribuției normale ocupă un loc central în teoria probabilității. Acest lucru se datorează faptului că această lege se manifestă în toate cazurile în care o variabilă aleatorie este rezultatul acțiunii unui număr mare de factori diferiți. Toate celelalte legi de distribuție se apropie de legea normală.
Can uşor spectacol că parametrii și incluși în densitatea distribuției sunt, respectiv, așteptarea matematică și abaterea standard a variabilei aleatoare X.
Să găsim funcția de distribuție F(x).
Graficul de densitate al unei distribuții normale se numește curbă normală sau curbă Gaussiană.
O curbă normală are următoarele proprietăți:
1 ) Funcția este definită pe întreaga linie numerică.
2 ) În fața tuturor X funcția de distribuție ia doar valori pozitive.
3 ) Axa OX este asimptota orizontală a graficului densității probabilității, deoarece cu creștere nelimitată a valorii absolute a argumentului X, valoarea funcției tinde spre zero.
4 ) Să găsim extremul funcției.
Deoarece la y’ > 0 la x< m Şi tu< 0 la x > m, apoi la punct x = t functia are un maxim egal cu .
5 ) Funcția este simetrică față de dreapta x = a, pentru că diferenţă
(x - a) este inclusă în funcția de densitate de distribuție la pătrat.
6 ) Pentru a găsi punctele de inflexiune ale graficului, găsim derivata a doua a funcției de densitate.
La x = m+s și x = m- s a doua derivată este egală cu zero, iar la trecerea prin aceste puncte își schimbă semnul, adică. în aceste puncte funcţia are o inflexiune.
O variabilă aleatoare continuă $X$ respectă legea distribuției probabilităților exponențiale (exponențiale) dacă densitatea sa de distribuție a probabilității $f\left(x\right)$ are următoarea formă:
$$f(x)=\left\(\begin(matrix)
0.\ x< 0\\
\lambda e^(-\lambda x),\ x\ge 0
\end(matrice)\dreapta..$$
Apoi funcția de distribuție:
$$F(x)=\left\(\begin(matrix)
0.\ x< 0\\
1-e^(-\lambda x),\ x\ge 0
\end(matrice)\dreapta.$$
Graficele funcțiilor de densitate $f\left(x\right)$ și distribuția $F\left(x\right)$ sunt prezentate în figură:
Pentru o lege de distribuție exponențială, caracteristicile numerice pot fi calculate folosind formule cunoscute. AşteptareŞi abaterea standard sunt egale între ele și egale cu $1/\lambda $, adică:
$$M\left(X\right)=\sigma \left(X\right)=((1)\over (\lambda )).$$
Dispersia:
$$D\left(X\right)=((1)\peste ((\lambda )^2)).$$
Parametrul de distribuție $\lambda $ în sens statistic caracterizează numărul mediu de evenimente care au loc pe unitatea de timp. Deci, dacă durata medie funcționarea fără defecțiuni a dispozitivului este $1/\lambda $, atunci parametrul $\lambda $ va caracteriza numărul mediu de defecțiuni pe unitatea de timp. Exemple de variabile aleatoare supuse legii distribuției exponențiale pot fi:
- Durată conversatie telefonica;
- Timpul petrecut cu serviciul clienți;
- Perioada de funcționare a dispozitivului între defecțiuni;
- Intervalele de timp dintre apariția mașinilor la o benzinărie.
Exemplu
. Variabila aleatoare $X$ este distribuită conform legii exponențiale $f\left(x\right)=\left\(\begin(matrix)
0.\ x< 0\\
5e^(-5x),\ x\ge 0
\end(matrice)\dreapta.$. Atunci așteptarea matematică $=$ abaterea standard $\sigma (X)=1/\lambda =1/5=0.2$, varianța $D(X)=1/(\lambda )^2=1/25=0 . 04.$
Exemplu . Timpul de funcționare al dispozitivului este o variabilă aleatorie $X$, supusă distribuției exponențiale. Se știe că durata medie de funcționare a acestui dispozitiv este de $500$ ore. Care este probabilitatea ca acest dispozitiv să funcționeze timp de cel puțin $600$ ore?
Așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=500=1/\lambda $, de unde parametrul de distribuție $\lambda =1/500=0.002.$ Putem scrie functie de distributie:
$$F(x)=\left\(\begin(matrix)
0.\ x< 0\\
1-e^(-\lambda x)=1-e^(-0,002x),\ x\ge 0
\end(matrice)\dreapta.$$
Atunci probabilitatea ca dispozitivul să funcționeze mai puțin de $600$ ore este egală cu:
$$P\left(X\ge 600\right)=1-P\left(X< 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$