Diagramă sub formă de cercuri Euler. Cercuri Euler: de ce este mai bine să vezi o dată decât să auzi de o sută de ori

Cercuri Euler- o diagramă geometrică cu care puteți reprezenta relațiile dintre submulțimi pentru reprezentarea vizuală. Inventat. Folosit în matematică, logică, management și alte domenii aplicate.

Sarcina nr. 1

În limbajul de interogare al motorului de căutare pentru a denota

Tabelul arată interogările și numărul de pagini găsite pentru un anumit segment de internet.

Cerere	Pagini găsite (în mii)
Prajituri | Plăcinte	12000
Prajituri si placinte	6500
Plăcinte	7700

prăjituri?
Soluție la problema nr. 1

Pentru a rezolva problema, să afișăm seturile de prăjituri și plăcinte sub formă de cercuri Euler.

A, B, C).

Din declarația problemei rezultă:

Prăjituri │Plăcinte = A + B + C = 12000

Prajituri si placinte = B = 6500

Plăcinte = B + C = 7700

Pentru a găsi numărul de prăjituri (Prăjituri = A + B ), trebuie să găsim sectorul A Torturi│Plăcinte ) scădeți setul de Plăcinte.

Prăjituri│Plăcinte – Plăcinte = A + B + C -(B + C) = A = 1200 – 7700 = 4300

Sectorul A este egal cu 4300, prin urmare

Prajituri = A + B = 4300+6500 = 10800

Sarcina nr. 2

|”, iar pentru operația logică „ȘI” - simbolul „&”.

Tabelul arată interogările și numărul de pagini găsite pentru un anumit segment de internet.

Cerere	Pagini găsite (în mii)
Prajituri si coacere	5100
Tort	9700
Tort | Brutărie	14200

Câte pagini (în mii) vor fi găsite pentru interogare? Brutărie?

Se crede că toate interogările au fost executate aproape simultan, astfel încât setul de pagini care conțineau toate cuvintele căutate nu s-a modificat în timpul executării interogărilor.Soluția la problema nr. 2

Pentru a rezolva problema, afișăm seturile prăjituri și Coacerea sub formă de cercuri Euler.

Să notăm fiecare sector cu o literă separată ( A, B, C).

Din declarația problemei rezultă:

Prajituri si produse de patiserie = B = 5100

Tort = A + B = 9700

Tort │ Produse de patiserie = A + B + C = 14200

Pentru a afla cantitatea de coacere (coacere = B + C ), trebuie să găsim sectorulÎN , pentru aceasta din setul general ( Tort │ Coacerea) scădeți setul Tort.

Tort │ Coacere – Tort = A + B + C -(A + B) = C = 14200–9700 = 4500

Sectorul B este egal cu 4500, prin urmare Coacerea = B + C = 4300+5100 = 9400

Sarcina nr. 3
descendent
Pentru a indicaOperația logică „SAU” folosește simbolul „|”, iar pentru operația logică „ȘI” - simbolul „&”.


Soluția la problema nr. 3

Să ne imaginăm seturi de câini ciobănești, terieri și spaniel sub formă de cercuri Euler, care desemnează sectoarele cu litere ( A, B, C, D).

Cu paniels │(terrieri & ciobani) = G + B

Cu paniel│caini ciobanesc= G + B + C

spaniels│terrieri│ciobani= A + B + C + D

terieri & ciobani = B

Să aranjam numerele cererii în ordinea descrescătoare a numărului de pagini:3 2 1 4

Sarcina nr. 4

Tabelul prezintă interogări către serverul de căutare. Puneți în ordine numerele de solicitare crește numărul de pagini pe care motorul de căutare le va găsi pentru fiecare cerere.
Pentru a indicaOperația logică „SAU” folosește simbolul „|”, iar pentru operația logică „ȘI” - simbolul „&”.

Soluția la problema nr. 4

Să ne imaginăm seturile clasicism, stil imperiu și clasicism sub formă de cercuri Euler, notând sectoarele cu litere ( A, B, C, D).

Să transformăm starea problemei sub forma unei sume de sectoare:

baroc│ clasicism│imperiu = A + B + C + D
Baroc │(clasicism & imperiu) = G + B
clasicism și stil imperiu = B
baroc│clasicism = G + B + A

Din sumele de sector vedem care cerere a produs mai multe pagini.

Să aranjam numerele cererii în ordinea crescătoare a numărului de pagini:3 2 4 1

Problema #5Tabelul prezintă interogări către serverul de căutare. Puneți în ordine numerele de solicitare crește numărul de pagini pe care motorul de căutare le va găsi pentru fiecare cerere.
Pentru a indicaOperația logică „SAU” folosește simbolul „|”, iar pentru operația logică „ȘI” - simbolul „&”.


Soluția la problema nr. 5

Pentru a rezolva problema, să ne imaginăm interogări sub formă de cercuri Euler.

Prezentare generală a materialului

Matematica este una dintre disciplinele mele preferate din liceu. Îmi place să rezolv diferit puzzle-uri matematice, probleme logice. La clubul de matematică cu care ne cunoaștem în diverse moduri rezolvarea problemelor. Într-o zi, în timpul orelor de club, ni s-a dat o temă pentru a rezolva următoarea problemă: „Sunt 35 de elevi în clasă, 12 sunt într-un club de matematică, 9 sunt într-un club de biologie și 16 copii nu merg la aceste cluburi. . Câți biologi sunt interesați de matematică? Am rezolvat asa:

35 - 16=19 (copii) - frecventează cluburi

19- 9 = 10 (copii) – frecventează un club de matematică

12 - 10=2 (biologi) – sunt pasionați de matematică.

Și mi-a cerut să verific soluția la problema fratelui meu mai mare. El a spus asta

problema a fost rezolvată corect, dar există o mai convenabilă și cale rapidă solutii. Se pare că așa-numitele cercuri Euler ajută la simplificarea soluției acestei probleme, cu ajutorul căreia puteți descrie multe elemente care au o anumită proprietate. Am fost interesat de o nouă modalitate de a rezolva problema și am decis să scriu o lucrare de cercetare pe tema: „Rezolvarea problemelor folosind cercurile lui Euler”

Mi-am propus un obiectiv: să învăț o nouă modalitate de a rezolva probleme non-standard folosind cercurile lui Euler.

Pentru a dezvălui tema muncii mele de cercetare, au fost stabilite următoarele sarcini:

Învață să folosești literatura științifică.

Aflați ce sunt cercurile lui Euler.

Creați un algoritm pentru rezolvarea problemelor.

Învață să rezolvi probleme folosind cercurile lui Euler.

Alcătuiește o selecție de probleme pentru a fi utilizate în orele de cerc de matematică.

Metode de cercetare:

Studiu și analiză literatura stiintifica;

Metoda generalizării inductive, specificarea.

Obiect de studiu: cercurile lui Euler

Subiect de cercetare: conceptul de mulțime, principalele acțiuni cu acestea necesare la rezolvarea problemelor folosind cercuri Euler

Participanți la studiu: elevi din clasele 5-9 la gimnaziu

Ipoteza cercetării: Metoda lui Euler simplifică raționamentul atunci când rezolvă anumite probleme și facilitează calea către rezolvarea acesteia.

Relevanța studiului constă în faptul că există multe tehnici și modalități de a rezolva non-standard probleme logice. Adesea, atunci când se rezolvă o problemă, se folosesc desene, ceea ce face rezolvarea problemei mai simplă și mai vizuală. Una dintre acestea vizuale și moduri convenabile rezolvarea problemelor este metoda cercului Euler. Această metodă vă permite să rezolvați probleme cu condiții greoaie și cu multe date.

Problemele rezolvate folosind cercurile lui Euler sunt adesea oferite la olimpiadele matematice. Astfel de sarcini sunt adesea de natură practică, ceea ce este important în viața modernă. Ele te fac să te gândești și să abordezi rezolvarea unei probleme din unghiuri diferite. Ele te învață să alegi pe cea mai simplă și mai ușoară dintre o varietate de metode.

Partea teoretică

1. Scurt istoric.

Leonhard Euler (1707-1783) – mare matematician al Academiei din Sankt Petersburg din secolul al XVIII-lea. Născut în orașul elvețian Basel. A descoperit devreme abilitățile matematice. La vârsta de 13 ani, a devenit student la Facultatea de Arte a Universității din Basel, unde se predau atât matematica, cât și astronomia. La 17 ani a primit diploma de master. La 20 de ani, Euler a fost invitat să lucreze la Academia de Științe din Sankt Petersburg, iar la 23 de ani era deja profesor de fizică, iar trei ani mai târziu a primit catedra de matematică superioară.

Leonhard Euler pentru a lui viata lunga a lăsat cele mai importante lucrări din diverse ramuri ale matematicii, mecanicii, fizicii, astronomiei și o serie de științe aplicate și a scris peste 850 de lucrări științifice. Într-unul dintre ele au apărut aceste cercuri.

Ce sunt cercurile lui Euler?

Am găsit răspunsul la această întrebare citind diverse literaturi educaționale. Leonhard Euler credea că „cercurile sunt foarte potrivite pentru a ne facilita gândirea”. Când a rezolvat o serie de probleme, a folosit ideea reprezentării mulțimilor folosind cercuri, motiv pentru care au fost numite „cercuri euleriene”.

În matematică, un set este o colecție, o colecție de orice obiecte (obiecte). Obiectele care alcătuiesc o mulțime se numesc elementele sale. Este convențional acceptat că un cerc descrie vizual volumul unui concept. De exemplu, clasa noastră a V-a este un set, iar numărul de elevi din clasă este elementele sale.

În matematică, mulțimile sunt notate cu majuscule și elementele lor cu majuscule. Deseori scris sub forma A = (a, b, c, ...), unde elementele mulțimii A sunt indicate între paranteze.

Dacă fiecare element al mulțimii A este în același timp un element al mulțimii B, atunci ei spun că A este un submult al mulțimii B. De exemplu, mulțimea elevilor de clasa a V-a din gimnaziul nostru este un submult al tuturor elevilor din gimnaziu. .

Cu seturi, ca și cu obiectele, puteți efectua anumite acțiuni (operații). Pentru a imagina mai clar acțiunile cu seturi, se folosesc desene speciale - diagrame Euler (cercuri). Să facem cunoștință cu câteva dintre ele.

Mulțimea elementelor comune A și B se numește intersecția mulțimilor A și B și se notează cu semnul ∩.

A∩B = (m), C ∩B = (e, u).

Mulțimile A și C nu au elemente comune, deci intersecția acestor mulțimi este mulțimea goală: A∩C =∅.

Dacă creați o nouă mulțime din elementele mulțimilor A și B, constând din toate elementele acestor mulțimi și care nu conțin alte elemente, atunci obțineți o unire a mulțimilor A și B, care se notează prin semnul ∪.

Luați în considerare un exemplu: Fie A = (t, o, h, k, a), B = (t, i, p, e), C = (d, e, f, u, s).

A∪B = (t, o, h, k, a, i, p, e), B∪ C = (t, i, p, e, d, f, s), A ∪ B ∪ C = (t , o, h, k, a, i, p, e, d, f, s).

Concluzii: Cercurile Euler sunt o diagramă geometrică care vă permite să faceți mai clare conexiuni logice între fenomene și concepte. De asemenea, ajută la înfățișarea relației dintre un set și partea sa.

Puteți verifica acest lucru folosind un exemplu de sarcină.

Toți prietenii mei cresc niște flori în apartamentele lor. Șase dintre ei cresc cactusi, iar cinci cresc violete. Și doar două au atât cactusi, cât și violete. Câte prietene am?

Să determinăm câte mulțimi există în problemă (adică câte cercuri vom desena când rezolvăm problema).

În sarcină, prietenii cresc 2 tipuri de flori: cactusi și violete.

Aceasta înseamnă primul set (1 cerc este prietenii care cresc cactusi).

Al doilea set (al 2-lea cerc sunt prietenii care cresc violete).

În primul cerc vom desemna proprietarii de cactusi, iar în al doilea cerc deținătorii de violete.

Selectăm condiția care conține mai multe proprietăți pentru a desena cercuri. Unii prieteni au ambele flori, așa că haideți să desenăm cercuri astfel încât acestea să aibă o parte comună.

Hai să facem desenul.

În partea generală punem numărul 2, deoarece doi prieteni au atât cactusi, cât și violete.

În funcție de condițiile problemei, 6 prieteni cresc cactusi, iar 2 sunt deja în partea comună, apoi în partea rămasă a cactusilor punem numărul 4 (6-2 = 4).

5 prieteni cresc violete, iar 2 sunt deja în partea comună, apoi în partea rămasă de violete punem numărul 3 (5-2=3)

Poza în sine ne spune răspunsul 4+2+3=9. Scriem răspunsul.

Răspuns: 9 prietene

Partea practică

Rezolvarea problemelor folosind cercurile lui Euler

După ce mi-am dat seama ce cercuri Euler sunt bazate pe exemplul problemei și pe materialul studiat, am decis să trec la elaborarea unui algoritm pentru rezolvarea problemelor folosind această metodă.

2.1 Algoritm pentru rezolvarea problemelor

Studiem cu atenție și notăm pe scurt condițiile problemei.

Determinăm numărul de seturi și le desemnăm.

Hai să facem desenul. Construim intersecția mulțimilor.

Scriem datele inițiale în cercuri.

Selectați condiția care conține mai multe proprietăți.

Scriem datele lipsă în cercurile lui Euler (raționare și analiză)

Verificăm soluția problemei și notăm răspunsul.

După ce am creat un algoritm pentru rezolvarea problemelor folosind cercuri Euler, am decis să-l lucrez la mai multe probleme.

Probleme care implică intersecția și unirea a două mulțimi

Sarcina 1.

Sunt 15 elevi în clasa mea. Dintre aceștia, 9 sunt implicați la secțiunea de atletism, 5 la secțiunea de înot și 3 la ambele secții. Câți elevi din clasă nu participă la secțiuni?

Soluţie.

Problema are un set și două subseturi. 1 cerc - total studenți. Cercul 2 – numărul de elevi implicați în atletism. 3 cerc - numărul de elevi implicați în înot.

Să reprezentăm toți elevii folosind un cerc mai mare. Vom plasa cercuri mai mici în interior și le vom desena astfel încât să aibă o parte comună (deoarece trei băieți studiază în ambele secțiuni).

1. Total

   Hai să facem desenul.

Sunt 15 elevi într-un cerc mare. În partea generală a cercurilor mai mici punem numărul 3. În partea rămasă a cercului l/a punem numărul 6 (9-3=6). În partea rămasă a cercului n - puneți numărul 2 (5-3=2).

5. Notăm răspunsul din imagine: 15-(6+3+2) = 4 (elevi) nu sunt angajați în niciuna dintre aceste secțiuni.

Problema 2. (pe care am rezolvat-o într-un mod diferit, dar acum o voi rezolva folosind cercuri Euler)

Există 35 de elevi în clasă, 12 sunt într-un club de matematică, 9 într-un club de biologie și 16 copii nu frecventează aceste cluburi. Câți biologi sunt interesați de matematică?

Soluţie:

Problema are un set și două subseturi. 1 cerc - totalul elevilor din clasă. Al 2-lea cerc numărul de elevi care studiază într-un cerc de matematică (notat cu litera M). Cercul 3 - numărul de studenți care studiază în cercul de biologie (notat cu litera B).

Să descriem întreaga clasă de elevi folosind un cerc mare. În interior vom plasa cercuri mai mici care au o parte comună, deoarece Mai mulți biologi sunt interesați de matematică.

Hai sa facem desenul:

În interiorul cercului mare sunt doar 35 de elevi. 35-16 = 19 (studenți) frecventează aceste cluburi. În interiorul cercului M punem 12 elevi care studiază într-un cerc de matematică. În cercul B am pus 9 elevi care studiază în clubul de biologie.

Să scriem răspunsul din imagine: (12 + 9) – 19 = 2 (elevi) – sunt pasionați de biologie și matematică. Răspuns: 2 elevi.

2.3. Probleme care implică intersecția și unirea a trei mulțimi

Sarcina 3.

Sunt 40 de persoane în clasă. Dintre aceștia, 19 persoane au note „C” la limba rusă, 17 persoane la matematică și 22 persoane la istorie. O singură materie are note „C”: în rusă - 4 persoane, la matematică - 4 persoane, la istorie - 11 persoane. Șapte elevi au note „C” atât la matematică, cât și la istorie, iar 5 elevi au note „C” la toate disciplinele. Câți oameni învață fără note? Câți oameni au C la două din trei subiecte?

Soluţie:

Problema are un set și trei subseturi. 1 cerc mare - numărul total de elevi din clasă. Al 2-lea cerc este numărul de elevi cu note C la matematică (notat cu litera M), al 3-lea cerc este mai mic - numărul de elevi cu note C la limba rusă (notat cu litera P), al 4-lea cerc este mai mic - cel numărul de elevi cu note C la istorie (notat cu litera I)

Să desenăm cercuri Euler. În interiorul cercului mai mare care înfățișează toți elevii clasei, vom plasa trei cercuri mai mici M, R, I, adică matematică, limba rusă și, respectiv, istorie, și toate cele trei cercuri se intersectează, deoarece 5 elevi au note „C” în total subiecte.

Să scriem datele în cercuri, raționând, analizând și efectuând calculele necesare. Deoarece numărul elevilor cu note „C” la matematică și istorie este 7, numărul elevilor cu doar două note „C” - la matematică și istorie - este 7-5 = 2. Apoi 17-4-5-2=6 elevi au două note „C” - la matematică și limba rusă, iar 22-5-2-11=4 elevi au doar două note „C” - la istorie și limba rusă . În acest caz, 40-22-4-6-4 = 4 studenți învață fără „C”. Și au note „C” la două materii din trei 6+2+4=12 persoane.

7-5=2 - numărul de elevi cu doar două note „C” - M, I.

17-4-5-2=6 - numărul de elevi cu doar două note „C” - M, R.

22-5-2-11=4 - numărul de elevi cu doar două note „C” - I, R.

40-22-4-6-4=4 - numărul de studenți care studiază fără „C”

6+2+4=12 - numărul de elevi cu note „C” - la două din trei materii

Răspuns: 4 elevi învață fără note „C”, 12 elevi au note „C” la două din trei materii

Sarcina 4.

Sunt 30 de persoane în clasă. 20 dintre ei folosesc metroul în fiecare zi, 15 folosesc autobuzul, 23 folosesc troleibuzul, 10 folosesc atât metroul cât și troleibuzul, 12 folosesc atât metroul cât și autobuzul, 9 folosesc atât troleibuz, cât și autobuz. Câți oameni folosesc toate cele trei moduri de transport în fiecare zi?

Soluţie. 1 cale. Pentru a rezolva, folosim din nou cercuri Euler:

Fie că x persoană folosește toate cele trei moduri de transport. Apoi folosesc doar metroul și troleibuzul - (10 − x) oameni, doar autobuzul și troleibuzul - (9 − x) oameni, doar metroul și autobuzul - (12 − ​​​​x) oameni. Să aflăm câți oameni folosesc singur metroul:

20 − (12 − ​​​​x) − (10 − x) − x = x − 2

În mod similar, obținem: 15 –(12 − ​​​​x) -(9 − x) - x = x − 6 - numai cu autobuz și

23 - (9 − x) - (10 − x) – x = x + 4 - numai cu troleibuz, deoarece sunt doar 30 de persoane, alcătuim ecuația:

X + (12 − ​​​​x) + (9 − x) + (10 − x) + (x + 4) + (x − 2) + (x − 6) = 30. Prin urmare, x = 3.

Metoda 2. Sau puteți rezolva această problemă într-un alt mod:

20+15+23-10-12-9+x=30, 27+x=30, x=3.

Răspuns: 3 persoane folosesc toate cele trei moduri de transport în fiecare zi.

2.4. Pregătirea problemelor de importanță practică

Problema 1. Sunt 15 persoane în clasa 5A. 5 persoane merg la cercul „Erudit”, 13 persoane merg la cercul „Calea către Cuvânt”, 3 persoane merg la secțiunea de sport. Mai mult, 2 persoane frecventează cercul „Erudit” și cercul „Calea către Cuvânt”, „Erudiție” și secțiunea de sport, secțiunea de sport și „Calea către Cuvânt”. Câți oameni participă la toate cele trei cluburi?

Soluţie:

1. Lăsați x oameni să participe la toate cele trei cluburi, atunci

2. 5+13+3-2-2-2+x=15, 13+x=15, x=2

Răspuns: 2 persoane participă la toate cele trei cluburi.

Problema 2

Se știe că elevii clasei 6B sunt înregistrați pe rețelele sociale: „VK”, „Odnoklassniki”, „Dating Galaxy”. 2 studenți nu sunt înregistrați pe nicio rețea de socializare, 7 studenți sunt înregistrați atât pe Odnoklassniki, cât și pe VK; 2 elevi numai în Odnoklassniki și 1 numai în VK; și 2 studenți sunt înregistrați în toate cele 3 rețele sociale. Câte persoane din clasă sunt înregistrate pe fiecare rețea de socializare? Câți oameni din clasă au participat la sondaj?

Soluţie:

Folosind cercurile lui Euler obținem:

Sunt 1+5+2=8 persoane înregistrate în VK,

În Odnoklassniki sunt 2+5+2=9 persoane,

Sunt doar 2 persoane în Dating Galaxy.

Un total de 1+5+2+2+2=12 persoane au participat la sondaj

2.5. Probleme pentru utilizare în orele de cerc de matematică

Sarcina 1: „Harry Potter, Ron și Hermione”

Pe raft erau 26 de cărți magice despre vrăji, toate au fost citite. Dintre acestea, 4 au fost citite atât de Harry Potter, cât și de Ron. Hermione a citit 7 cărți pe care nici Harry Potter, nici Ron nu le-au citit și două cărți pe care le-a citit Harry Potter. În total, Harry Potter a citit 11 cărți. Câte cărți a citit Ron singur?

Sarcina 2: „Tabăra de pionieri”

Sarcina 3: „Extremă”

Din 100 de copii care merg la o tabără de sănătate pentru copii, 30 de copii pot face snowboard, 28 pot face skateboard, 42 pot face rollerblade 8 copii pot face skateboard și snowboard, 10 pot face skateboard și rollerblade, snowboard și rollerblade – 5 și pe toate trei – 3. Câți băieți nu știu să meargă cu snowboard, skateboard sau patine cu role?

Sarcina 4: „Echipă de fotbal”

Echipa de fotbal Spartak are 30 de jucători, dintre care 18 atacanți, 11 mijlocași, 17 fundași și portari. Se știe că trei pot fi atacanți și fundași, 10 fundași și mijlocași, 6 atacanți și fundași, iar 1 poate fi atacant, fundaș și mijlocaș. Portarii sunt de neînlocuit. Câți portari sunt în echipa Spartak?

Sarcina 5: „Fă cumpărături”

65 de persoane au vizitat magazinul. Se știe că au cumpărat 35 de frigidere, 36 de cuptoare cu microunde, 37 de televizoare. 20 dintre ei au cumpărat atât un frigider, cât și un cuptor cu microunde, 19 au cumpărat atât un cuptor cu microunde, cât și un televizor, 15 au cumpărat un frigider și un televizor, iar toate cele trei achiziții au fost făcute de trei persoane. A fost vreun vizitator printre ei care nu a cumpărat nimic?

Sarcina 6: „Grădiniță”

ÎN grădiniţă 52 de copii. Fiecare dintre ei iubește fie tortul, fie înghețata, sau ambele. Jumătate dintre copii le place prăjitura, iar 20 de persoane le place prăjitura și înghețata. Câți copii iubesc înghețata?

Sarcina 7: „Brigada studenților”

În echipa de producție studențească sunt 86 de liceeni. 8 dintre ei nu știu să manevreze nici un tractor, nici o combină. 54 de elevi au stăpânit bine tractorul, 62 - combina. Câți oameni din această echipă pot lucra atât la un tractor, cât și la o combină?

Partea de cercetare

Scop: utilizarea metodei Euler de către elevii de la gimnaziu la rezolvarea unor probleme nestandard.

Experimentul a fost realizat cu participarea elevilor din clasele 5-9 care sunt interesați de matematică. Li s-a cerut să rezolve următoarele două probleme:

Șase elevi din clasă merg la școala de muzică, zece sunt implicați la secția de fotbal și încă zece merg la studioul de artă. Trei dintre ei merg atât la școala de fotbal, cât și la școala de muzică. Câți oameni sunt în clasă?

65 de persoane au vizitat magazinul. Se știe că au cumpărat 35 de frigidere, 36 de cuptoare cu microunde, 37 de televizoare. 20 dintre ei au cumpărat atât un frigider, cât și un cuptor cu microunde, 19 au cumpărat atât un cuptor cu microunde, cât și un televizor, 15 au cumpărat un frigider și un televizor, iar toate cele trei achiziții au fost făcute de trei persoane. A existat printre ei vreun vizitator care nu a cumpărat nimic?

Din 10 participanți (2 persoane din fiecare clasă paralelă) la experiment, doar 4 persoane au rezolvat prima problemă, doar doi au rezolvat a doua problemă (elevii din clasele a 8-a și a 9-a). După ce le-am prezentat lucrările mele de cercetare, în care am vorbit despre cercurile lui Euler, am analizat rezolvarea mai multor probleme simple și propuse folosind această metodă, elevii au putut rezolva singuri probleme simple.

La sfârșitul experimentului, copiilor li sa dat următoarea sarcină:

În tabăra de pionieri sunt 70 de copii. Dintre aceștia, 27 sunt implicați în clubul de teatru, 32 cântă în cor, 22 sunt pasionați de sport. Sunt 10 băieți din cor în clubul de teatru, 6 sportivi în cor, 8 sportivi în clubul de teatru; 3 sportivi participă atât la clubul de teatru, cât și la cor. Câți copii nu cântă, nu sunt interesați de sport, nu participă la un club de teatru? Câți bărbați sunt implicați doar în sport?

Dintre cei 10 participanți la experiment, toți au făcut față acestei sarcini.

Concluzie: se dezvoltă rezolvarea problemelor folosind cercurile lui Euler gândire logică, face posibilă rezolvarea unor probleme care pot fi rezolvate în mod obișnuit numai prin alcătuirea unui sistem de trei ecuații cu trei necunoscute. Elevii din clasele 5-7 nu știu să rezolve sisteme de ecuații, dar pot rezolva aceleași probleme. Aceasta înseamnă că copiii trebuie să cunoască această metodă de rezolvare a problemelor folosind cercuri Euler.

Aplicații

Secțiuni: Informatica

1. Introducere

Cursul de informatică și TIC al școlilor de bază și superioare acoperă subiecte atât de importante precum „Fundamentele logicii” și „Căutarea informațiilor pe Internet”. Când rezolvați un anumit tip de problemă, este convenabil să folosiți cercuri Euler (diagramele Euler-Venn).

Referință matematică. Diagramele Euler-Venn sunt utilizate în principal în teoria mulțimilor ca o reprezentare schematică a tuturor intersecțiilor posibile ale mai multor mulțimi. În general, ele reprezintă toate cele 2 n combinații de n proprietăți. De exemplu, cu n=3, diagrama Euler-Venn este de obicei reprezentată ca trei cercuri cu centre la vârfurile unui triunghi echilateral și aceeași rază, aproximativ egală cu lungimea laturii triunghiului.

2. Reprezentarea conectivelor logice în interogări de căutare

Când studiați subiectul „Căutarea informațiilor pe Internet”, sunt luate în considerare exemple de interogări de căutare folosind conective logice, similare ca semnificație cu conjuncțiile „și”, „sau” ale limbii ruse. Semnificația conectivelor logice devine mai clară dacă le ilustrezi folosind o diagramă grafică - cercuri Euler (diagramele Euler-Venn).

Conectiv logic	Exemplu de cerere	Explicaţie	Cercuri Euler
& - „ȘI”	Paris & universitate	Vor fi selectate toate paginile care menționează ambele cuvinte: Paris și universitate	Fig.1
| - „SAU”	Paris | universitate	Vor fi selectate toate paginile în care sunt menționate cuvintele Paris și/sau universitate	Fig.2

3. Conectarea operaţiilor logice cu teoria mulţimilor

Diagramele Euler-Venn pot fi folosite pentru a vizualiza legătura dintre operațiile logice și teoria mulțimilor. Pentru demonstrație, puteți folosi diapozitivele din Anexa 1.

Operațiile logice sunt specificate de tabelele lor de adevăr. ÎN Anexa 2 Ilustrațiile grafice ale operațiilor logice împreună cu tabelele lor de adevăr sunt discutate în detaliu. Să explicăm principiul construirii unei diagrame în cazul general. În diagramă, aria cercului cu numele A afișează adevărul afirmației A (în teoria mulțimilor, cercul A este desemnarea tuturor elementelor incluse într-o mulțime dată). În consecință, zona din afara cercului afișează valoarea „falsă” a afirmației corespunzătoare. Pentru a înțelege ce zonă a diagramei va afișa o operație logică, trebuie să umbriți numai acele zone în care valorile operației logice pe seturile A și B sunt egale cu „adevărat”.

De exemplu, valoarea implicației este adevărată în trei cazuri (00, 01 și 11). Să umbrim secvențial: 1) zona din afara celor două cercuri care se intersectează, care corespunde valorilor A=0, B=0; 2) o zonă legată doar de cercul B (semiluna), care corespunde valorilor A=0, B=1; 3) aria aferentă atât cercului A, cât și cercului B (intersecție) - corespunde valorilor A=1, B=1. Combinația acestor trei zone va fi o reprezentare grafică a operației logice a implicației.

4. Folosirea cercurilor lui Euler în demonstrarea egalităților logice (legi)

Pentru a demonstra egalitățile logice, puteți utiliza metoda diagramei Euler-Venn. Să demonstrăm următoarea egalitate ¬(АvВ) = ¬А&¬В (legea lui de Morgan).

Pentru a reprezenta vizual partea stângă a egalității, să o facem secvențial: umbriți ambele cercuri (aplicați disjuncția) cu gri, apoi pentru a afișa inversarea, umbriți zona din afara cercurilor cu negru:

Fig.3 Fig.4

Pentru a reprezenta vizual partea dreaptă a egalității, să o facem secvențial: umbriți zona pentru afișarea inversării (¬A) în gri și, în mod similar, zona ¬B tot în gri; apoi pentru a afișa conjuncția trebuie să luați intersecția acestor zone gri (rezultatul suprapunerii este reprezentat în negru):

Fig.5 Fig.6 Fig.7

Vedem că zonele pentru afișarea părților din stânga și din dreapta sunt egale. Q.E.D.

5. Probleme în formatul examenului de stat și examenului de stat unificat pe tema: „Căutarea informațiilor pe internet”

Problema nr. 18 din versiunea demo a GIA 2013.

Tabelul prezintă interogări către serverul de căutare. Pentru fiecare cerere este indicat codul acesteia - litera corespunzătoare de la A la G. Aranjați codurile de solicitare de la stânga la dreapta în ordine descendent numărul de pagini pe care motorul de căutare le va găsi pentru fiecare cerere.

Cod	Cerere
O	(Fly & Money) | Samovar
B	Fly & Money & Bazar & Samovar
ÎN	Zbura | Bani | Samovar
G	Fly & Money & Samovar

Pentru fiecare interogare, vom construi o diagramă Euler-Venn:

Solicitarea A

Cererea B

Cererea B

Solicitare G

Răspuns: VAGB.

Problema B12 din versiunea demonstrativă a Unified State Exam 2013.

Tabelul arată interogările și numărul de pagini găsite pentru un anumit segment de internet.

Cerere	Pagini găsite (în mii)
Fregata | Distrugător	3400
Fregata și distrugător	900
Fregată	2100

Câte pagini (în mii) vor fi găsite pentru interogare? Distrugător?

Se crede că toate interogările au fost executate aproape simultan, astfel încât setul de pagini care conțineau toate cuvintele căutate nu s-a modificat în timpul executării interogărilor.

Ф – numărul de pagini (în mii) la cerere Fregată;

E – numărul de pagini (în mii) la cerere Distrugător;

X – numărul de pagini (în mii) pentru o interogare care menționează FregatăŞi Nu menţionat Distrugător;

Y – numărul de pagini (în mii) pentru o interogare care menționează DistrugătorŞi Nu menţionat Fregată.

Să construim diagrame Euler-Venn pentru fiecare interogare:

Cerere	Diagrama Euler-Venn	Număr de pagini
Fregata | Distrugător	Fig.12	3400
Fregata și distrugător	Fig.13	900
Fregată	Fig.14	2100
Distrugător	Fig.15	?

Conform diagramelor avem:

1. X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. De aici găsim Y = 3400-2100 = 1300.
2. E = 900+U = 900+1300= 2200.

Raspuns: 2200.

6. Rezolvarea problemelor logice semnificative folosind metoda diagramei Euler-Venn

Sunt 36 de persoane în clasă. Elevii acestei clase frecventează cercurile de matematică, fizică și chimie, cu 18 persoane care participă la cercul matematic, 14 persoane participând la cercul fizic, 10 persoane participând la cercul chimic În plus, se știe că 2 persoane participă la toate cele trei cercuri, 8 persoane frecventează atât matematică cât și fizică, 5 și matematică și chimie, 3 - atât fizice cât și chimice.

Câți elevi din clasă nu frecventează niciun club?

Pentru a rezolva această problemă, este foarte convenabil și intuitiv să folosiți cercurile Euler.

Cel mai mare cerc este mulțimea tuturor elevilor din clasă. În interiorul cercului există trei mulțimi care se intersectează: membrii matematicii ( M), fizic ( F), chimic ( X) cercuri.

Lasă MFC- o mulțime de băieți, fiecare dintre care frecventează toate cele trei cluburi. MF¬X- o mulțime de copii, fiecare dintre ei frecventând cluburi de matematică și fizică și Nu vizite chimice. ¬M¬FH- o mulțime de băieți, fiecare dintre ei frecventând clubul de chimie și nu frecventează cluburile de fizică și matematică.

În mod similar, introducem seturi: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Se știe că toate cele trei cercuri sunt frecventate de 2 persoane, așadar, în regiune MFC Să introducem numărul 2. Pentru că 8 persoane frecventează atât cercurile matematice cât și fizice, iar printre ei sunt deja 2 persoane care frecventează toate cele trei cercuri, apoi în regiune MF¬X sa intram 6 persoane (8-2). Să determinăm în mod similar numărul de elevi din seturile rămase:

Să însumăm numărul de oameni din toate regiunile: 7+6+3+2+4+1+5=28. În consecință, 28 de persoane din clasă frecventează cluburi.

Aceasta înseamnă că 36-28 = 8 studenți nu participă la cluburi.

După sarbatori de iarna Profesorul clasei a întrebat care dintre copii a mers la teatru, cinema sau circ. S-a dovedit că din 36 de elevi din clasă, doi nu fuseseră niciodată la cinema. nici la teatru, nici la circ. 25 de persoane au mers la cinema, 11 la teatru, 17 la circ; atât în ​​cinema, cât și în teatru - 6; atât la cinema, cât și la circ - 10; iar la teatru și circ - 4.

Câți oameni au fost la cinema, la teatru și la circ?

Fie x numărul de copii care au fost la cinema, la teatru și la circ.

Apoi puteți construi următoarea diagramă și puteți număra numărul de băieți din fiecare zonă:

6 persoane au vizitat cinematograful și teatrul, ceea ce înseamnă că doar 6 persoane au vizitat cinematograful și teatrul. În mod similar, numai în cinema și circ (al 10-lea) oameni. Numai la teatru și circ (4) persoane. 25 de persoane au mers la cinema, ceea ce înseamnă că 25 dintre ei au mers doar la cinema - (10's) - (6's) - x = (9+x). La fel, doar în teatru erau (1+x) oameni. Numai că erau (3+x) oameni în circ. Nu am fost la teatru, cinema sau circ – 2 persoane. Deci, 36-2=34 de persoane. a participat la evenimente. Pe de altă parte, putem rezuma numărul de oameni care au fost la teatru, cinema și circ: (9+x)+(1+x)+(3+x)+(10)+(6)+(4)+x = 34 Rezultă că o singură persoană a participat la toate cele trei evenimente.

Astfel, cercurile Euler (diagramele Euler-Venn) găsesc aplicare practică la rezolvarea problemelor în formatul Unified State Exam și State Examination și la rezolvarea unor probleme logice semnificative.

Literatură

1. V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Logica în informatică.
2. M.: Informatică și Educație, 2006. 155 p.
3. L.L. Bosova. Fundamentele aritmetice și logice ale calculatoarelor. M.: Informatică și Educație, 2000. 207 p.
4. L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Manual. Informatica si TIC pentru clasa a 8-a: BINOM. Laboratorul de cunoștințe, 2012. 220 p.
5. L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Manual. Informatica si TIC pentru clasa a 9-a: BINOM. Laboratorul de cunoștințe, 2012. 244 p.

Site-ul FIPI: http://www.fipi.ru/

Ministerul Educației, Științei și Tineretului din Republica Crimeea Mica Academie de Științe „Iskatel”

Direcția: matematică G.– 2017

Krasnoperekopsk

Lucrare finalizata:

Şumilina Maria Sergheevna, elev clasa 7-A din bugetul municipalînvăţământul general instituţiile „Secundarînvăţământul general G.

Scoala nr. 5" cartier oras formatie municipala

Supraveghetor stiintific: Sheina Elena Nikolaevna, elev clasa 7-A din bugetul municipalînvăţământul general instituţiile „Secundar profesor de matematică buget municipal G.

scoala nr 5 » cartier oras formatie municipala

INTRODUCERE …………………………………………………………………… 3 CAPITOLUL 1. 5

Un pic de istorie………………………………………….

2.1. CAPITOLUL 2. Din teoria mulţimilor…………………………………….7

2.2. Conceptul de mulțime………………………………………………………..8…………………………..9

Operații pe platouri.CAPITOLUL 3.………………..10

Rezolvarea problemelor folosind cercurile lui Euler

CONCLUZIE…………………………………………………………………..22

LISTA SURSELOR UTILIZATE………………….23

INTRODUCERE

Nimic nu ajută

formarea unei culturi mentale,

ca soluţie la probleme logice. Matematică-

nu știință uscată și plictisitoare, ci completă

descoperiri neobișnuite și interesante

Rezolvarea problemelor logice este foarte interesantă. Există oameni pentru care rezolvarea unei probleme de logică este o sarcină interesantă, dar nu dificilă. Creierul lor, ca un reflector, luminează imediat toate construcțiile ingenioase și ajung la răspunsul corect neobișnuit de repede. Este grozav că nu pot explica cum au ajuns la decizie.

Problemele logice constituie o clasă mare de probleme non-standard. Aceasta include, în primul rând, problemele de cuvinte în care este necesar să recunoaștem obiectele sau să le aranjezi într-o anumită ordine în funcție de proprietățile existente.

Există multe tehnici care sunt folosite pentru a rezolva problemele de logică a textului. Foarte des, soluția ajută la găsirea unui desen. Utilizarea unei imagini face rezolvarea problemei simplă și clară. Reprezentarea condițiilor unei probleme sub formă de cercuri Euler, de regulă, simplifică și facilitează calea către soluționarea acesteia. este că sarcinile sunt de natură practică, ceea ce este important în viața modernă. Problemele te obligă să gândești, să abordezi rezolvarea unei probleme dintr-un unghi diferit, să poți alege dintr-o varietate de soluții, cea mai simplă, mai ușoară cale.

Scopul lucrării:

Faceți cunoștință cu cercurile Euler–Venn;

Învață să aplici metoda de rezolvare a problemelor folosind cercuri Euler;

Creați sarcini cu conținut practic.

Capitolul 1. Puțină istorie

Leonhard Euler, cel mai mare matematicianXVIIIc., născut în Elveția în 1707.În 1727, la invitația Academiei de Științe din Sankt Petersburg, a venit în Rusia. La Sankt Petersburg, Euler s-a trezit într-un cerc de oameni de știință remarcabili: matematicieni, fizicieni, astronomi și a primit mari oportunități de a-și crea și publica lucrările. A lucrat cu pasiune și în scurt timp a devenit, conform recunoașterii unanime a contemporanilor săi, primul matematician din lume. Moștenirea științifică a lui Euler este izbitoare prin volum și versatilitate. Lista lucrărilor sale include peste 800 de titluri. Lucrările complete colectate ale omului de știință ocupă 72 de volume. Printre lucrările sale se numără primele manuale de calcul diferențial și integral. În teoria numerelor, Euler a continuat lucrările matematicianului francez P. Fermat.

Euler lucrează foarte mult în domeniu analiză matematică. Omul de știință a fost primul care a dezvoltat o doctrină generală a funcției logaritmice. În geometrie, Euler a pus bazele unui domeniu complet nou de cercetare, care mai târziu a devenit o știință independentă - topologia.

Numele lui Euler este dat unei formule care leagă numărul de vârfuri (B), muchii (P) și fețe (G) ale unui poliedru convex: B -P + G = 2. Chiar și principalele rezultate ale lucrării științifice a lui Euler sunt greu de obținut. listă. Iată geometria curbelor și suprafețelor și prima prezentare a calculului variațiilor cu numeroase rezultate concrete noi. A scris lucrări despre hidraulică, construcții navale, artilerie, optică geometrică și chiar teoria muzicii. Pentru prima dată, el oferă o prezentare analitică a mecanicii în loc de prezentarea geometrică a lui Newton și construiește mecanica unui corp solid, și nu doar un punct material sau o placă solidă. Una dintre cele mai remarcabile realizări ale lui Euler este legată de astronomie și mecanica cerească. El a construit o teorie exactă a mișcării Lunii, ținând cont de atracția nu numai a Pământului, ci și a Soarelui. Acesta este un exemplu de rezolvare a unei probleme foarte dificile.

Ultimii 17 ani din viața lui Euler au fost afectați de pierderea aproape completă a vederii. Dar a continuat să creeze la fel de intens ca în tinerețe. Numai că acum nu se mai scrie singur, ci dicta elevilor săi, care făceau cele mai greoaie calcule pentru el.

Din 1761 până în 1768, a scris celebrele „Scrisori către o prințesă germană”, unde Euler a vorbit despre metoda sa, despre înfățișarea seturilor sub formă de cercuri. De aceea, desenele sub formă de cercuri sunt de obicei numite „cercuri euleriene”. Euler a remarcat că reprezentarea mulțimilor ca cercuri „este foarte potrivită pentru a ne facilita raționamentul”.

După Euler, aceeași metodă a fost dezvoltată de matematicianul ceh Bernard Bolzano (1781 – 1848). Numai că, spre deosebire de Euler, el a desenat diagrame nu circulare, ci dreptunghiulare. Metoda cercului lui Euler a fost folosită și de matematicianul german Ernst Schroeder (1841 – 1902). Această metodă este utilizată pe scară largă în cartea sa Algebra Logic. Dar metodele grafice au atins cea mai mare înflorire în scrierile logicianului englez John Venn (1843 - 1923). El a subliniat această metodă cel mai pe deplin în cartea sa „Symbolic Logic”, publicată la Londra în 1881. În cinstea lui Venn, în loc de cercurile lui Euler, desenele corespunzătoare sunt uneori numite diagrame Venn; în unele cărți sunt numite și diagrame (sau cercuri) Euler–Venn.

Capitol 2. Din teoria mulţimilor

2.1. Conceptul de set.

Unul dintre principalele concepte folosite în matematică este conceptul de mulțime. Nu este dată nicio definiție pentru el. Se poate explica că o mulțime este o colecție arbitrară de obiecte, iar obiectele în sine sunt elementele unei mulțimi date. Deci, putem vorbi despre un set de elevi dintr-o clasă (elementele sunt elevi), un set de zile ale săptămânii (elementele sunt zile ale săptămânii), un set de divizori naturali ai numărului 6 (elementele sunt numerele 1, 2, 3, 6), etc.

În cursurile de algebră și algebră, începutul analizei ia în considerare cel mai adesea mulțimi ale căror elemente sunt numere și, prin urmare, sunt numite mulțimi de numere.

De regulă, seturile sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin. De exemplu, dacă setulMeste format din numere 1; 2; 3, atunci se desemnează după cum urmează:M= (1; 2; 3). Faptul că numărul 2 este inclus în acest set

(este un element al acestui setM) este înregistrată folosind o pictogramă specială după cum urmează: 2M; și faptul că numărul 5 nu este inclus în acest set (nu este un element al acestui setM), scris astfel: 5 M.

De asemenea, putem considera o mulțime care nu conține un singur element - mulțimea goală. De exemplu: mulțimea factorilor primi ai numărului 1 este o mulțime goală.

Pentru unele seturi există notații speciale. Astfel, setul gol este notat cu simbolul , mulțimea tuturor numerelor naturale – o literăN, mulțimea tuturor numerelor întregi – o literăZ, mulțimea tuturor numerelor raționale – literaQ, iar mulțimea tuturor numerelor reale este literaR. Folosind cercurile Euler–Venn, aceasta poate fi descrisă după cum urmează:

Fig.1

Dacă fiecare element al mulţimiiOeste un element al ansambluluiB, apoi se spune că setulOeste un subset al multimiiB.

Aceasta este scrisă după cum urmează:O B.

B

O

Fig.2

2.2. Conceptul de mulțime………………………………………………………..8

Puteți efectua anumite acțiuni pe platouri: găsiți intersecția lor, unirea. Să definim aceste operații și să le ilustrăm folosind cercuri.

Intersecția mulțimilor O Şi B numesc partea lor comună, adică setulCtoate elementele aparţinând atât mulţimiiO, și multeB

Intersecția mulțimilor este indicată prin semn∩ si noteazaO∩ B .

ÎN

Fig.3

Unirea de seturi O Şi B apelați un setC, constând din toate elementele aparținând cel puțin uneia dintre aceste mulțimi (OsauB). Unirea mulțimilor este indicată prin semn
si noteaza O
B

Capitolul 3. Rezolvarea problemelor folosind cercuri Euler

Sarcina nr. 1.

Din cei 52 de școlari, 23 colecționează insigne, 35 colecționează timbre, iar 16 colectează atât insigne, cât și timbre.

Restul nu sunt interesați să colecteze. Câți școlari nu sunt interesați să colecteze?

Soluţie.

Condițiile acestei probleme nu sunt atât de ușor de înțeles. Dacă adaugi 23 și 35, primești mai mult de 52. Acest lucru se explică prin faptul că aici am numărat de două ori niște școlari, și anume cei care strâng atât insigne, cât și timbre.

Pentru a facilita rezolvarea problemei, să prezentăm datele acesteia în diagrama următoare

Fig.5

În această diagramă, cercul mare reprezintă toți școlarii în cauză. CercZ înfățișează școlari adunând insigne (23 în total) și cerculM - şcolari care colectează timbre (35 în total). La intersecția cercurilorZŞi M Numărul 16 merită - aceștia sunt cei care colecționează atât insigne, cât și ștampile. Aceasta înseamnă că 23 - 16 = 7 persoane colectează doar insigne, 35 - 16 = 19 persoane colectează doar timbre. În total, timbrele și insignele sunt colectate de 19 + 7 + 16 = 42 de persoane. Asta lasă 52 - 42 = 10 persoane care nu sunt dornice să colecteze. Acest număr poate fi introdus în câmpul liber al cercului. Răspuns: 10 persoane.

Sarcina 2.

Sunt 15 băieți în clasă. Dintre aceștia, 10 oameni joacă volei și 9 baschet. Câți băieți le fac pe amândouă?

Soluţie.

Să descriem condiția folosind cercuri Euler. Această cifră ne oferă un raționament. Să analizăm acest raționament și să introducem numărul necesar în fiecare dintre părțile formate pe diagramă.

Lasă-i pe x băieți să joace tot felul de sporturi. Apoi doar (al 10-lea) băieți joacă volei și doar (al 9-lea) băieți joacă baschet. Să facem o ecuație: 10 + x+ 9 = 15, din care x = 4

ÎN

anii 10 B

x 9

Fig.6

Raspuns: 4 persoane.

Sarcina nr. 3.

Unii băieți din clasa noastră le place să meargă la cinema. Se știe că 15 copii au vizionat filmul „Scarecrow”, 11 persoane au vizionat filmul „Above the Sky”, dintre care 6 au vizionat atât „Scarecrow”, cât și— Mai sus decât cerul. Câți oameni au urmărit doar filmul „Above the Sky”?

Soluţie:Să desenăm două seturi astfel: Am plasat 6 persoane care au vizionat filmele „Scarecrow” și „Above the Sky” la intersecția decorurilor.

15 – 6 = 9 – oameni care s-au uitat doar la „Scarecrow”.
11 – 6 = 5 – oameni care au vizionat doar „Above the Sky”.

Primim:

Fig.7

Răspuns. 5 persoane au vizionat doar „Above the Sky”.

Sarcina nr. 4.

Într-un grup de 80 de turiști care au venit într-o excursie la Moscova, 52 vor să viziteze Teatrul Bolșoi, 30 vor să viziteze Teatrul de Artă, 12 vor să viziteze ambele teatre, restul nu vor să meargă la teatre. Câți oameni nu vor merge la teatru?

Soluţie.

Numai teatrul mare va fi vizitat de: 52-12=40 de turişti;

se va vizita doar teatrul de artă

30-12=18 turişti;

8
0-(40+18+12)=10 turişti nu vor merge la teatru.

Fig.8

Răspuns: 10 persoane.

Sarcina nr. 5.

Pe raft erau 26 de cărți magice despre vrăji. Dintre acestea, 4 au fost citite atât de Harry Potter, cât și de Ron. Hermione a citit 7 cărți pe care nici Harry Potter, nici Ron nu le-au citit și două cărți pe care le-a citit Harry Potter. În total, Harry Potter a citit 11 cărți. Câte cărți a citit Ron?

Soluţie.

Având în vedere condițiile problemei, desenul va fi după cum urmează:

Fig.9

Deoarece Harry Potter a citit 11 cărți în total, dintre care 4 cărți au fost citite de Ron și 2 cărți de Hermione, atunci doar Harry a citit 11 - 4 - 2 = 5 - cărți.

Prin urmare, Ron a citit 26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – cărți.Răspuns. Ron a citit 8 cărți.

Sarcina nr. 6.

Într-un grup turistic de 100 de persoane, 75 de persoane cunosc germana, 65 de persoane cunosc engleza, iar 10 persoane nu cunosc nici germana, nici Limba engleză. Câți turiști vorbesc două limbi? Soluţie.

Să descriem condițiile problemei sub forma unor cercuri Euler.

Este ușor de observat că 90 de turiști (100-10) cunosc cel puțin o limbă; Lăsați x turiști să cunoască atât limba engleză, cât și limbi germane. Apoi (al 65-lea) turiștii știu doar engleza, iar (al 75-lea) oamenii știu doar germană. Obținem ecuația 65 + 75 + x = 90, din care x = 50 - turiștii cunosc ambele limbi. Raspuns: 50 de turisti.

Sarcina nr. 7.

Câte persoane participă la plimbare dacă se știe că 16 dintre ei au luat un sandviș cu șuncă, 24 cu cârnați, 15 cu brânză, 11 cu șuncă și cârnați, 8 cu șuncă și brânză, 12 cu cârnați și cu brânză, 6 - sandvișuri de toate felurile și 5 - au luat plăcinte? Soluţie : Să reprezentăm mulțimile astfel: Fig.11

16+24+15-11-8-12+6=30 (pers.) - au participat la plimbare și au luat sandvișuri cu ei sau 3+2+6+5+7+6+1=30 (pers.)

30+5=35 (pers.) - au participat la plimbare
Răspuns. 35 de persoane

Problema nr. 8

În clasa a V-a a școlii noastre sunt 22, în clasa a VI-a - 16, în clasa a VII-a - 23 de copii. Se știe că cluburi pentru schi, șah și jocuri sportive 4 persoane merg pe jos. La fiecare două secțiuni participă 9 persoane. Câți oameni trec de la fiecare clasă la secțiuni? Câți studenți nu merg la niciun club sportiv?

Soluţie. Dacă sunt 4 elevi în toate cele trei cluburi și 9 persoane în fiecare două, atunci două secțiuni din clasele a 5-a și a 6-a, din clasele a 6-a și a 7-a și din clasele a 5-a și a 7-a sunt frecventate de 5.

Uman.

Fig.12

Avem 5+5+4=14 elevi de clasa a cincea frecventează cluburi, 22-14=8 persoane nu frecventează niciun club. Raționând de asemenea, dintre elevii de clasa a VI-a, 16-14=2 elevi nu merg nicăieri, iar dintre cei de clasa a VII-a – 23-14=9 persoane.

Răspuns: 14 elevi din fiecare clasă frecventează cluburi 7 elevi din a 5-a, 2 din a 6-a, 9 din a 7-a nu frecventează cluburi;

Sarcina nr. 9.

Din 100 de copii care merg la o tabără de sănătate pentru copii, 30 de copii pot face snowboard, 28 pot face skateboard, 42 pot face rollerblade 8 copii pot face skateboard și snowboard, 10 pot face skateboard și rollerblade, snowboard și rollerblade – 5 și pe toate trei – 3. Câți băieți nu știu să meargă cu snowboard, skateboard sau patine cu role?

Soluţie:ÎN Să folosim cercurile lui Euler.

Fig.13

Trei persoane dețin toate cele trei echipamente sportive, ceea ce înseamnă că în partea generală a cercurilor introducem numărul 3. 10 persoane pot face skateboard și roller skate, iar 3 dintre ei și snowboard. În consecință, 10-3=7 băieți pot doar să facă skateboard și rollerblade. În mod similar, constatăm că doar 8-3=5 băieți pot face skateboard și snowboard, iar doar 5-3=2 persoane pot merge cu snowboard și role. Vom introduce aceste date în părțile corespunzătoare. Să stabilim acum câți oameni pot merge cu un singur echipament sportiv. 30 de oameni știu să facă snowboard, dar 5+3+2=10 dintre ei știu și alte echipamente, prin urmare, 20 de oameni știu doar să facă snowboard. În mod similar, constatăm că 13 copii știu doar să facă skateboard, iar 30 de copii știu doar să facă skateboard. Conform condițiilor problemei, sunt doar 100 de băieți. 20+13+30+5+7+2+3=80 – băieții știu să călărească cel puțin un echipament sportiv. În consecință, 20 de persoane nu știu să călărească niciun echipament sportiv.
Răspuns. 20 de oameni nu știu să călărească niciun echipament sportiv.

Problema nr. 10 .

Sunt 70 de copii în trei clase a șaptea. Dintre aceștia, 27 sunt implicați în clubul de teatru, 32 cântă în cor, 22 sunt pasionați de sport. Sunt 10 băieți din cor în clubul de teatru, 6 sportivi în cor, 8 sportivi în clubul de teatru; 3 sportivi participă atât la clubul de teatru, cât și la cor. Câți copii nu cântă într-un cor, nu sunt interesați de sport și nu participă la un club de teatru? Câți bărbați sunt implicați doar în sport?

Soluţie . D - club de teatru; X - cor; S - sport. În cercul D - 27 copii, în cercul X - 32 persoane, în cercul C - 22 elevi.Acei 10 băieți de la clubul de teatru care cântă în cor vor fi în partea comună a cercurilor D și X. Trei dintre ei sunt și sportivi, vor fi în partea comună a tuturor celor trei cercuri. Restul de șapte nu sunt interesați de sport. La fel, 8-3=5

sportivi care nu cântă în cor și 6-3=3 care nu frecventează clubul de teatru. Este ușor de observat că 5+3+3=11 sportivi frecventează un cor sau un club de teatru, 22-(5+3+3)=11 sunt angajați doar în sport; 70-(11+12+19+7+3+3+5)=10 - nu cânta într-un cor, nu participă la un club de teatru, nu sunt interesați de sport.

Fig.14 Răspuns: 10 persoane.

Problema nr. 11 . Sunt 30 de persoane în clasă. 20 dintre ei folosesc metroul în fiecare zi, 15 folosesc autobuzul, 23 folosesc troleibuzul, 10 folosesc atât metroul cât și troleibuzul, 12 folosesc atât metroul cât și autobuzul, 9 folosesc atât troleibuz, cât și autobuz. Câți oameni folosesc toate cele trei moduri de transport în fiecare zi?

Soluţie.

Fig.15

Fie că x persoană folosește toate cele trei moduri de transport. Apoi folosesc doar metroul și troleibuzul - (10 − x) oameni, doar autobuzul și troleibuzul - (9 − x) oameni, doar metroul și autobuzul - (12 − ​​​​x) oameni. Să aflăm câți oameni folosesc singur metroul:

20 − (12 − ​​​​x) − (10 − x) − x = x − 2

În mod similar, obținem: x − 6 - numai cu autobuzul și x + 4 - numai cu troleibuz, deoarece sunt doar 30 de persoane, creăm ecuația:

x + (12 − ​​​​x) + (9 − x) + (10 − x) + (x + 4) + (x − 2) + (x − 6) = 30.

deci x = 3.

Raspuns: 3 persoane.

Sarcina nr. 12.

Dintre angajații companiei, 16 au vizitat Franța, 10 Italia, 6 Anglia; în Anglia și Italia - 5; în Anglia și Franța -6; în toate cele trei țări - 5 angajați. Câte persoane au vizitat atât Italia, cât și Franța, dacă în companie lucrează în total 19 persoane și fiecare dintre ei a vizitat cel puțin una dintre țările menționate?

Soluţie:

Știm că erau 5 angajați în toate cele trei țări. În Anglia și Italia sunt și 5, ceea ce înseamnă că acești angajați au fost și în Franța și, prin urmare, punem 0 la intersecția cercurilor A și I. În Franța și Italia nu știm, așa că scriem x-5 la intersecţia cercurilor A şi F. Deoarece in Anglia erau 6 oameni, apoi 6-5-1=0 scriem 0, in Franta sunt 16+5-6 si in Italia 10+5-5 si in total sunt 19 angajati in firma, apoi tot aia. rămâne să creăm și să rezolvăm ecuația: 1 +16x+5-6+5+x-5+10x+5-5=19, deci x=7, ceea ce înseamnă 7-5=2 angajați ai companiei au vizitat Italia și Franţa.

Fig.16

Raspuns: 2 angajati.

Sarcina nr. 13.

Au fost 10 tipi care au vrut să facă schimb de diverse tipuri de reviste. Dintre aceștia, 6 persoane sunt abonate la K, 5 persoane la T, 5 persoane la Yu, 3 persoane la K și T, 2 persoane la T și Yu, 3 persoane la K și Yu și o persoană nu este abonată la o singură revistă . dar citește toate aceste reviste din bibliotecă. Trebuie să aflăm câți oameni sunt abonați la toate cele trei reviste, câți sunt abonați la două și câți sunt abonați la o singură revistă.

Soluţie. Lasă un cerc mare de 10 persoane să fie setul tuturor băieților care fac schimb de reviste. În interiorul cercului mare vom desena trei cercuri mai mici: K, T, Yu, care îi înfățișează pe băieții care s-au abonat la revistele corespunzătoare.. Se știe că o persoană nu este abonată la o singură revistă.

Lăsați x băieți să se aboneze la toate cele trei reviste, apoi (3) băieți să se aboneze numai la K și T, (2) doar la T și Yu, (3) doar la K și Yu. Aceasta înseamnă că numai revista K este abonată la 6 -. (3-x+x+3-x)=x oameni, revista T 5-(3-x+x+2-x)=x, revista Yu 5-(3-x+x+2-x)= X .

Fig.17

Să facem o ecuație: x+3-x+3-x+x+x+x+x+2-x=9, 8+x=9,x=1

Deci, 3 este numărul de băieți care s-au abonat la o singură revistă, 5 este numărul de băieți care s-au abonat la două reviste și 1 este numărul de băieți care s-au abonat la toate cele trei reviste.

CONCLUZIE

Subiectul matematicii este atât de serios

ceea ce nu poți rata o ocazie să faci

este un pic distractiv.

B. Pascal

Printre problemele matematice, problemele logice ocupă un loc aparte Rezolvarea unor astfel de probleme contribuie la dezvoltarea gândirii matematice. Ele diferă de majoritatea problemelor matematice prin aceea că rezolvarea lor adesea nu necesită un stoc de cunoștințe speciale, dar, de regulă, necesită inteligență. Unul dintre trăsături caracteristice orice logică este că permite, primind unele informații, extragerea (identificarea) noilor cunoștințe conținute în ea.

Se dovedește că există mai multe tehnici prin care puteți rezolva problemele de logică a textului. Sunt diverse și fiecare dintre ele are propriul său domeniu de aplicare.

Lucrarea mea examinează probleme care consta dintr-o mulțime de date.Soluțiile găsite urmează aceeași metodă: faceți un desen; introduceți datele inițiale în cercuri; analizând și raționând, notăm rezultatele în părți ale cercurilor; Căutăm și notăm răspunsul.Reprezentarea condițiilor unei probleme sub formă de cercuri Euler, de regulă, simplifică și facilitează calea către soluționarea acesteia. În plus, cu ajutorul lor puteți răspunde la multe întrebări puse la o condiție a problemei.

Acest subiect mi-a extins orizonturile matematice și mi-a îmbogățit arsenalul de instrumente folosite în rezolvarea diferitelor probleme.

Lista surselor folosite:

1. Gavrilova T.D.. Matematică distractivă. 5 - 11 clase. Volgograd: Profesor, 2005.-96 p.

2. Germanovich P.Yu. „Colecție de probleme de matematică pentru inteligență”.

3. Getmanova A. D. Fundamentele logice ale matematicii clasele 10 – 11: manual de instruire. – M.: Dropia, 2005.

4. Glazer G.I. . - M.: Educaţie, 1964. - P. 232.

5. Gusev V.A., Orlov A.I., Rosenthal A.L. „Lucrări extracurriculare în matematică”. M.: Educație, 1984.

6. Nelin E.P., Dolgova O.E.. Manual de algebră și începuturi de analiză, clasa a 11-a.

Rezumate pentru lucrare

Tema muncii mele de cercetare este „Rezolvarea problemelor folosind cercurile Euler”. Când mă pregăteam pentru olimpiade, m-am confruntat cu sarcini care implicau o cantitate mare de date. Se pare că așa-numitele cercuri Euler ajută la simplificarea soluționării unor astfel de probleme, cu ajutorul cărora puteți descrie multe elemente care au o anumită proprietate. Scopul acestei lucrări este de a studia această metodă și de a o putea aplica pentru rezolvarea problemelor.

Lucrarea examinează probleme ale căror soluții sunt supuse unui singur algoritm: realizarea unui desen; Introducem datele inițiale în cercuri, începând cu condiția care conține mai multe proprietăți; analizând și raționând, notăm rezultatele în părți ale cercului; notează răspunsul.

Relevanța constă în faptul că sarcinile sunt de natură practică, ceea ce este important în viața modernă. Problemele te obligă să gândești, să abordezi rezolvarea unei probleme dintr-un unghi diferit, să poți alege dintr-o varietate de soluții, cea mai simplă, mai ușoară cale. Metoda discutată în lucrareaccesibil și ușor de înțeles, ceea ce vă permite să extindeți gama aplicației sale. Cercurile lui Euler pot fi găsite în istorie, biologie și în studiul altor subiecte.

Materialul care a fost studiat în lucrare, precum și partea practică,poate fi folosit în clase suplimentare în pregătirea pentru olimpiadele matematice.

Leonhard Euler (1707-1783) - celebru matematician elvețian și rus, membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg, și-a trăit cea mai mare parte a vieții în Rusia. Cel mai faimos în statistică, informatică și logică este cercul Euler (diagrama Euler-Venn), folosit pentru a indica domeniul de aplicare a conceptelor și a seturilor de elemente.

John Venn (1834-1923) - filozof și logician englez, coautor al diagramei Euler-Venn.

Concepte compatibile și incompatibile

Un concept în logică înseamnă o formă de gândire care reflectă trăsăturile esențiale ale unei clase de obiecte omogene. Ele sunt desemnate printr-unul sau un grup de cuvinte: „harta lumii”, „coarda a cincea dominantă”, „luni”, etc.

În cazul în care elementele din sfera unui concept aparțin total sau parțial sferei de aplicare a altuia, vorbim de concepte compatibile. Dacă nici un singur element din sfera unui anumit concept nu aparține sferei altuia, avem o situație cu concepte incompatibile.

La rândul său, fiecare tip de concept are propriul său set posibile relații. Pentru concepte compatibile, acestea sunt următoarele:

• identitatea (echivalența) volumelor;
• intersecția (coincidența parțială) a volumelor;
• subordonare (subordonare).

Pentru incompatibili:

• subordonare (coordonare);
• opus (contrar);
• contradicţie (contradictorietate).

Schematic, relațiile dintre concepte în logică sunt de obicei notate folosind cercuri Euler-Venn.

Relații de echivalență

În acest caz, conceptele implică același subiect. Prin urmare, domeniul de aplicare al acestor concepte coincide complet. De exemplu:

A - Sigmund Freud;

B este fondatorul psihanalizei.

A - pătrat;

B - dreptunghi echilateral;

C este un romb echiunghiular.

Pentru notare sunt folosite cercuri Euler care coincid complet.

Intersecție (potrivire parțială)

A - profesor;

B este un iubitor de muzică.

După cum se poate observa din acest exemplu, domeniul de aplicare al conceptelor coincide parțial: un anumit grup de profesori se poate dovedi a fi iubitori de muzică și invers - printre iubitorii de muzică pot fi reprezentanți ai profesiei didactice. O relație similară va avea loc în cazul în care A este, de exemplu, un „locuitor”, iar B este un „șofer”.

Subordonare (subordonare)

Desemnate schematic ca cercuri Euler de diferite scări. Relația dintre concepte în acest caz se caracterizează prin faptul că conceptul de subordonat (mai mic ca sferă) este complet inclus în subordonat (mai mare ca sferă). În același timp, conceptul de subordonat nu îl epuizează complet pe cel de subordonat.

De exemplu:

A - copac;

B - pin.

Conceptul B va fi subordonat conceptului A. Deoarece pinul aparține copacilor, conceptul A devine subordonat în acest exemplu, „absorbând” sfera conceptului B.

Subordonare (coordonare)

O relație caracterizează două sau mai multe concepte care se exclud reciproc, dar aparțin în același timp unui anumit cerc generic general. De exemplu:

A - clarinet;

B - chitara;

C - vioară;

D - instrument muzical.

Conceptele A, B, C nu se suprapun între ele, totuși, toate aparțin categoriei instrumentelor muzicale (conceptul D).

Opus (contrar)

Relațiile opuse dintre concepte implică faptul că aceste concepte aparțin aceluiași gen. Mai mult, unul dintre concepte are anumite proprietăți (semne), în timp ce celălalt le neagă, înlocuindu-le cu altele opuse în natură. Astfel, avem de-a face cu antonime. De exemplu:

A - pitic;

B este un gigant.

Cu relații opuse între concepte, cercul Euler este împărțit în trei segmente, primul dintre care corespunde conceptului A, al doilea conceptului B și al treilea tuturor celorlalte concepte posibile.

Contradicție (contradicție)

În acest caz, ambele concepte reprezintă specii din același gen. Ca și în exemplul precedent, unul dintre concepte indică anumite calități (semne), în timp ce celălalt le neagă. Totuși, spre deosebire de relația de opoziție, al doilea concept, opus, nu înlocuiește proprietățile negate cu altele, alternative. De exemplu:

A - sarcină dificilă;

B este o sarcină ușoară (nu-A).

Exprimând domeniul de aplicare al conceptelor de acest fel, cercul lui Euler este împărțit în două părți - nu există o a treia legătură intermediară în acest caz. Astfel, conceptele sunt și antonime. În acest caz, unul dintre ei (A) devine pozitiv (afirmând un anumit atribut), iar al doilea (B sau non-A) devine negativ (negand atributul corespunzător): „ hârtie albă" - "nu hârtie albă", "istorie internă" - "istorie străină", ​​etc.

Astfel, raportul dintre volumele de concepte unul în raport cu celălalt este caracteristica cheie care definește cercurile lui Euler.

Relații între mulțimi

De asemenea, ar trebui să distingeți între conceptele de elemente și mulțimi, al căror volum este reflectat de cercurile lui Euler. Conceptul de mulțime este împrumutat din știința matematică și are un sens destul de larg. Exemplele în logică și matematică îl arată ca o anumită colecție de obiecte. Obiectele în sine sunt elemente ale acestui set. „Un set înseamnă multe lucruri concepute ca unul” (Georg Cantor, fondatorul teoriei multimilor).

Desemnarea mulțimilor se realizează prin A, B, C, D... etc., elementele mulțimilor sunt desemnate cu litere mici: a, b, c, d... etc. Exemple de mulțime pot fi elevii din aceeași sală de clasă, cărți care stau pe un anumit raft (sau, de exemplu, toate cărțile dintr-o anumită bibliotecă), pagini dintr-un jurnal, fructe de pădure într-o poiană etc.

La rândul său, dacă o anumită mulțime nu conține un singur element, atunci se numește goală și se notează prin semnul Ø. De exemplu, mulțimea punctelor de intersecție este mulțimea soluțiilor ecuației x 2 = -5.

Rezolvarea problemelor

Cercurile Euler sunt utilizate în mod activ pentru a rezolva un număr mare de probleme. Exemplele în logică demonstrează clar legătura cu teoria mulțimilor. În acest caz, sunt folosite tabele de adevăr conceptuale. De exemplu, cercul desemnat prin numele A reprezintă regiunea adevărului. Deci zona din afara cercului va reprezenta o minciună. Pentru a determina aria diagramei pentru o operație logică, ar trebui să umbriți zonele care definesc cercul Euler în care valorile sale pentru elementele A și B vor fi adevărate.

Utilizarea cercurilor Euler a găsit o largă aplicație practică în diverse industrii. De exemplu, într-o situație cu alegere profesională. Dacă subiectul este preocupat de alegere viitoare profesie, se poate ghida după următoarele criterii:

W - ce îmi place să fac?

D - ce fac?

P - cum pot face bani buni?

Să descriem acest lucru sub forma unei diagrame: în logică - relația de intersecție):

Rezultatul vor fi acele profesii care se vor afla la intersecția tuturor celor trei cercuri.

Cercurile Euler-Venn ocupă un loc special în matematică atunci când calculează combinații și proprietăți. Cercurile Euler ale mulțimii de elemente sunt incluse în imaginea unui dreptunghi care denotă mulțimea universală (U). În loc de cercuri, pot fi folosite și alte figuri închise, dar esența nu se schimbă. Cifrele se intersectează între ele, în funcție de condițiile problemei (în cazul cel mai general). De asemenea, aceste cifre trebuie marcate corespunzător. Elementele mulțimilor luate în considerare pot fi puncte situate în interiorul diferitelor segmente ale diagramei. Pe baza acestuia, anumite zone pot fi umbrite, desemnând astfel seturi nou formate.

Cu aceste multimi se pot efectua operatii matematice de baza: adunare (suma multimilor de elemente), scadere (diferenta), inmultire (produs). În plus, datorită diagramelor Euler-Venn, se pot compara mulțimi după numărul de elemente incluse în ele, fără a le număra.