Ecuația energiei în formă termică. Ecuații de energie în formă generală

Ecuația și integrala lui Bernoulli. Rezolvarea ecuațiilor lui Euler (1.76) duce la una dintre cele mai importante ecuații ale hidrodinamicii - ecuația Bernoulli. Să înmulțim prima dintre ecuațiile lui Euler (1.76) cu dx, al doilea - pe dy, al treilea - pe dz, apoi adăugați-le termen cu termen. Ca rezultat obținem

Să integrăm (1.108) de-a lungul fluxului elementar sub următoarele ipoteze:

Să luăm în considerare sumele individuale incluse în (1.108).

Având în vedere că , , , reprezentăm suma din partea stângă în formă

, (1.109)

Unde u- viteza maximă reală la un punct dat.

Pe baza a doua și a treia ipoteză, proiecțiile accelerațiilor forțelor de masă pe axele de coordonate vor fi X=Y= 0, Z=-g. Apoi prima sumă din partea dreaptă a (1.108) ia forma

Xdx+Ydy+Zdz=-gdz. (1.110)

Datorită primei ipoteze, toți parametrii de curgere, inclusiv presiunea, nu depind de timp și sunt doar funcții de coordonate, adică. p = p(x,y,z). În consecință, expresia dintre paranteze pentru al doilea termen din partea dreaptă a (1.108) este diferența de presiune totală, i.e.

. (1.111)

Înlocuind (1.109), (1.110), (1.111) în (1.108) și adunând toți termenii din partea stângă, obținem

. (1.112)

Expresia (1.112) se numește ecuație diferențială a lui Bernoulli.

Unitatea de măsură a termenilor ecuației (1.112) este J/kg.

Ecuația lui Bernoulli poate fi reprezentată sub alte forme prin înmulțirea tuturor termenilor ei cu ρ ,

(1.113)

sau împărțirea prin g

. (1.114)

În acest caz, unitățile de măsură ale tuturor termenilor ecuației (1.113) sunt Pa și (1.114) sunt m.

Având ecuațiile integrate (1.112) - (1.114), obținem expresiile

; (1.115)

; (1.116)

. (1.117)

Ecuațiile (1.115)-(1.117) se numesc integrală Bernoulli.

Sensul energetic al integralei Bernoulli. Luând ρ = const, ca rezultat al ecuației integratoare (1.112) obținem

Unitatea de măsură a tuturor termenilor ecuației (1.118), precum și (1.112) este J/kg.

O particulă de lichid în mișcare are o sursă foarte clară de energie mecanică. Dacă un corp absolut rigid are o rezervă energie potenţială poziție în câmpul gravitației și energiei cinetice, atunci particula lichidă, ca un corp elastic, are și o rezervă de energie potențială de stare. Această energie este mai mare, cu cât volumul de lichid este mai mare și presiunea este mai mare și se manifestă prin faptul că, de exemplu, pomparea lichidului într-un vas poate duce la distrugerea vasului, iar gazul comprimat poate face lucru în timpul expansiunii. .

Prin urmare, energia mecanică totală a unei particule lichide E poate fi definit ca suma E = P n +P Cu +K, Unde P n este energia potențială a poziției în câmpul gravitațional; P c este energia potențială a statului; LA- energie cinetică.

Energia potențială a unei poziții poate fi calculată folosind formula mecanicii generale P n =mgz, Unde m- masa particulei lichide, kg; z- înălțimea poziției sale deasupra planului orizontal de referință, m.

Să luăm în considerare energia specifică pe unitatea de masă de lichid. Energia potenţială specifică a poziţiei este iar în integrala Bernoulli (1.118) este reprezentată de primul termen.

Energia potențială a stării se calculează prin formula P c = pV, Unde p- presiune, Pa; V- volumul particulei lichide, m3.

Energia potențială specifică a stării în integrala Bernoulli (1.118) este reprezentată de al doilea termen.

Energia cinetică a unei particule lichide.

Energia cinetică specifică în integrala Bernoulli (1.118) este reprezentată de al treilea termen.

Energia mecanică totală a unei particule lichide este deci determinată de suma , iar energia mecanică specifică va fi

. (1.119)

Comparând (1.118) și (1.119), ajungem la semnificația energetică a integralei Bernoulli: energia mecanică specifică a unui fluid incompresibil ideal rămâne constantă de-a lungul fluxului elementar. Astfel, integrala Bernoulli exprimă legea conservării energiei mecanice pentru un flux elementar, adică este o ecuație de energie.

Din integrala Bernoulli rezultă, de asemenea, că componentele individuale ale energiei mecanice specifice se pot schimba, dar în același timp are loc o transformare a unui tip de energie în altul, adică o scădere într-un termen trebuie însoțită în mod necesar de o creștere. în cel puţin unul dintre celelalte două şi invers.

Suma termenilor integralei Bernoulli (1.115) dă cantitatea totală de energie deținută de o unitate de masă ( e), (1.116) - unitate de volum ( p), (1.117) - unitatea de greutate față de planul de comparație acceptat ( H).

Termenii , , exprimă energie cinetică, sumele , , - energie potenţială, unde gz, ρgz, z- energia potenţială a poziţiei, şi , , - energia potenţială a stării, respectiv, unitatea de masă, volum, unitatea de greutate. De asemenea, putem spune că ecuațiile (1.116) și (1.117) exprimă același lucru ca și ecuația (1.99), dar pe o scară și respectiv.

Ecuația (1.115) este convenabilă de utilizat atunci când se studiază mișcarea gazului cu densitate variabilă, de exemplu, în rețele pneumatice și compresoare.

Dacă schimbările de presiune în timpul mișcării gazului sunt nesemnificative și temperatura este constantă, atunci putem presupune ρ = const. În aceste condiții, este convenabil să folosiți ecuația (1.116), care va lua forma

const. (1.120)

Expresia (1.120) este convenabil de utilizat atunci când se studiază mișcarea aerului în rețelele de ventilație și ventilatoare.

Când mutați o picătură de lichid (apă, ulei etc.), a cărei densitate este constantă, cel mai convenabil este să folosiți ecuația (1.117), care pentru ρ = const va lua forma

Ecuația (1.121) este utilizată în calculele conductelor de apă, rețelelor hidraulice și pompelor.

O reprezentare diferită a ecuației (1.117) este adesea folosită. Notând cu indicele 1 parametrii de curgere în prima secțiune a fluxului în direcția de mișcare a fluidului, iar prin indicele 2 - în secțiunea ulterioară, putem scrie

Semnificația geometrică a ecuației lui Bernoulli. Toți termenii ecuației (1.122) au dimensiunea lungimii, deci putem vorbi despre semnificația geometrică a ecuației Bernoulli: z- înălțimea geometrică (geodezică, de nivelare); - inaltime piezometrica; - viteza (dinamica) inaltimea; - înălțimea pierderii de energie (presiune).

Iată și alte nume: z- presiune geometrică; - presiune piezometrică; - presiunea vitezei; - pierderea de presiune; - presiune maximă.

Să luăm în considerare fluxul de fluid în canal, măsurând toți termenii ecuației Bernoulli (1.122) în diferite secțiuni (Fig. 1.30, măsurătorile sunt prezentate doar pentru două secțiuni). 1-1 Şi 2-2 ). Să luăm ca plan de referință un plan orizontal arbitrar 0-0 .

Înălțimi geometrice z sunt ușor de determinat ca distanța verticală de la planul de referință la centrele de greutate ale secțiunilor corespunzătoare. Înălțimile piezometrice sunt definite ca înălțimile creșterii lichidului în piezometri, măsurate vertical de la centrele de greutate ale secțiunilor corespunzătoare. Înălțimile vitezei sunt determinate ca diferență de niveluri de lichid în tuburile Pitot și piezometrii plasate în secțiunile corespunzătoare (trebuie remarcat că pentru a măsura cu precizie valoarea, tubul Pitot trebuie plasat într-un punct din secțiune în care viteza locală u egală cu viteza medie v, ceea ce nu se poate face întotdeauna, deoarece poziția acestui punct este rar cunoscută).

Înălțimea pierderilor de energie în zona limitată de secțiuni 1-1 Şi 2-2 , va fi determinată ca diferență de niveluri de lichid în tuburile Pitot plasate în aceste secțiuni.

Dacă se efectuează măsurători similare pentru multe secțiuni intermediare și meniscurile superioare ale lichidului din tuburile Pitot sunt conectate printr-o linie netedă, atunci obținem o linie o linie de presiune completă.

Conectând meniscurile superioare ale lichidului în piezometri cu o linie netedă, obținem o linie b(vezi Fig. 1.30), care se numește linie piezometrică.

Linia care leagă centrele de greutate ale secțiunilor se numește axa de curgere.

Comportarea acestor linii de-a lungul lungimii curgerii l determinate de aşa-numitele pante.

Înclinație hidraulică denumește cantitatea

, (1.123)

determinarea comportamentului conductei de presiune totală.

Pantă piezometrică

, (1.124)

determină comportamentul dreptei piezometrice.

Pantă geometrică (geodezică).

caracterizează comportamentul axei curgerii.

În calculele practice, valorile medii ale pantei sunt mai des utilizate, calculate ca raport dintre diferențele dintre valorile corespunzătoare de la început și sfârșit și lungimea fluxului.

Deoarece de-a lungul curgerii energia sa totală scade continuu din cauza pierderilor, linia presiunii totale scade întotdeauna. Panta hidraulică (1.124) rămâne întotdeauna pozitivă.

Linia piezometrică poate fie să scadă, fie să crească. Comportamentul său depinde atât de pierderea de presiune, cât și de natura schimbării energie cinetică. Pe măsură ce canalul se extinde, viteza curgerii și înălțimea presiunii scad. Dacă rata de scădere a presiunii vitezei este mai mare decât rata de scădere a presiunii totale, atunci linia piezometrică va crește.

Diagrame de presiune.Într-un număr de probleme hidraulice, este recomandabil să se ofere o reprezentare grafică a ecuației Bernoulli pentru un anumit canal. Astfel de grafice se numesc diagrame de presiune. Ele vă permit să analizați foarte clar comportamentul fiecărui termen din ecuația Bernoulli atunci când un fluid curge printr-un canal. Cu ajutorul lor este, de asemenea, convenabil să se producă unele calcule numerice. De obicei, diagramele sunt construite pe baza rezultatelor unor calcule specifice, trasând valorile presiunii pe o scară pentru fiecare secțiune. Să luăm în considerare principiul construirii unei diagrame.

Orez. 1.31. Diagrama presiunii

Lăsați lichidul să curgă dintr-un vas mare deschis în atmosferă printr-o conductă de secțiune transversală variabilă (Fig. 1.31). Să alegem un plan orizontal arbitrar 0-0 ca plan de referință. Să începem să construim diagrama cu linia presiunii totale.

Pentru a face acest lucru, determinăm presiunea totală în secțiunea care coincide cu suprafața liberă a lichidului din vas. Să fim de acord să folosim presiunile în exces în ecuația Bernoulli și atunci când le construim. Apoi pe suprafața liberă.

Deoarece aria vasului depășește semnificativ aria secțiunii transversale a țevii, atunci, în conformitate cu ecuația de curgere, viteza fluidului în vas va fi foarte mică în comparație cu viteza în țeavă și, prin urmare, , presiunea vitezei poate fi neglijată.

Astfel, presiunea totală este determinată doar de presiunea geometrică (în diagramă este marcată cu un punct o). Vom estima presiunea totală în secțiunile ulterioare ca diferență între presiunea totală din secțiunea anterioară și pierderea de presiune în zona dintre aceste secțiuni.

. (1.126)

Privind puțin în perspectivă, observăm că există două tipuri de pierderi de presiune: pierderile prin frecare cauzate de vâscozitatea fluidului și pierderile locale cauzate de o modificare bruscă a configurației curgerii, care, spre deosebire de pierderile prin frecare (deplasare), sunt considerat a fi concentrat într-o secţiune a fluxului. Cu cât lungimea canalului și viteza curgerii sunt mai mari și cu cât secțiunea transversală (diametrul) canalului este mai mică, cu atât pierderile prin frecare sunt mai mari.

În secțiunea 1-1 imediat după intrarea debitului din vas în conductă, presiunea totală va fi mai mică decât presiunea din vas cu cantitatea de pierderi locale de intrare. Scăzând din presiunea totală din vas (punctul o) pierderi de intrare h 1, obținem un punct b, care determină presiunea totală în secțiunea 1-1.

În secțiunea conductei dintre secțiunile 1-1 și 2-2 se va produce pierderi de presiune din cauza frecării. Deoarece conducta din această secțiune are o secțiune transversală constantă, atunci peste tot pe unitate de lungime există pierderi egale, adică graficul presiunii totale va fi liniar. Scăzând din înălțimea totală din secțiunea 1-1 cantitatea de pierdere de presiune datorată frecării în secțiune h 2, obținem presiunea totală în secțiunea 2-2 (punctul Cu). Conectarea punctelor bŞi Cu linie dreaptă, obținem un grafic al presiunii totale pentru prima secțiune a conductei.

Prin analogie cu intrarea în conductă, scăzând din presiunea totală din secțiune 2-2 (punct Cu) pierderi locale datorate expansiunii bruște a debitului h 3, obținem presiunea maximă în secțiunea 3-3 în spatele expansiunii bruște (punctul d), scăzând din care pierderi prin frecare în a doua secțiune a conductei h 4, obținem presiunea totală în secțiunea de ieșire 4-4 (punctul e).

Când conectați punctele dŞi e este necesar să se țină seama de faptul că pierderile prin frecare pe unitatea de lungime (pantă hidraulică) la începutul secțiunii (diametre mari) vor fi mai mici decât la sfârșit (diametre mici). În consecință, linia presiunii totale va fi îndreptată convex în sus. Astfel, avem o linie de presiune maximă abcde.

Să trecem acum la construirea unei linii piezometrice. În acest scop, vom scădea presiunea vitezei din presiunea totală din fiecare secțiune, deoarece

. (1.127)

Pe suprafața liberă a lichidului din vas, presiunea vitezei este zero și presiunea piezometrică coincide cu presiunea totală (punctul O).

În secțiunea dintre secțiunile 1-1 și 2-2, secțiunea transversală a conductei, viteza și presiunea vitezei rămân constante, iar linia piezometrică () va fi paralelă cu linia presiunii totale.

La trecerea de la secțiunea 2-2 la secțiunea 3-3, există o creștere bruscă a secțiunii transversale, însoțită de o scădere a vitezei și a presiunii vitezei. Prin urmare, presiunea piezometrică din secțiunea 3-3 se determină scăzând din presiunea totală o valoare (segment) semnificativ mai mică decât pentru secțiunea 2-2 (segment).

În a doua secțiune a conductei, secțiunea transversală scade treptat, ceea ce duce la o creștere treptată a vitezei și a presiunii vitezei. În consecință, în fiecare secțiune ulterioară, este necesar să se scadă o valoare din ce în ce mai mare din presiunea totală. Prin urmare, linia piezometrică se îndepărtează continuu de linia presiunii totale. Linia piezometrică se termină într-un punct care coincide cu centrul de greutate al secțiunii de ieșire 4-4. Acest lucru se explică prin faptul că presiunea atmosferică acționează din nou în secțiunea de ieșire, iar presiunea piezometrică peste excesul de presiune este egală cu zero. Presiunea totală este formată din geometric și viteză.

Prin analogie cu construirea unei diagrame de presiune pe baza unui profil de debit dat, este posibilă și rezolvarea problemei inverse: construirea unei configurații de conductă pe baza diagramelor de presiune date.

Exemple de utilizare practică a ecuației lui Bernoulli. Ecuația lui Bernoulli ne permite să obținem formule de calcul pentru diverse cazuri de mișcare a fluidelor și rezolvă multe probleme practice. Trebuie avut în vedere faptul că este valabil numai pentru fluxuri constante cu secțiuni plate de locuit.

Pentru utilizarea practică a ecuației Bernoulli în rezolvare diverse sarcini se desenează două secțiuni și un plan orizontal - planul de comparație. Acesta din urmă, pentru a avea mai puține necunoscute, se realizează prin centrul de greutate al uneia sau, dacă este posibil, a două secțiuni, apoi z 1 sau z 2 (sau ambele) vor fi zero. Secțiunile sunt efectuate normal cu direcția de mișcare a fluidului, iar locurile în care sunt efectuate sunt alese astfel încât secțiunile să fie plane, să conțină cantități necunoscute de determinat și un număr suficient de cantități cunoscute. De obicei, astfel de locuri sunt suprafața liberă a lichidului, intrarea sau ieșirea din conductă, punctele de conectare ale instrumentelor de măsură etc. În continuare, pentru secțiunile selectate, care sunt numerotate de-a lungul direcției lichidului, ecuația Bernoulli este scris, valorile numerice ale cantităților sunt substituite în el și se calculează cele necesare.

La rezolvarea unor probleme, este necesar să folosiți suplimentar condiția de continuitate (continuitate) a fluxului și să luați mai mult de două secțiuni.

Presiunile absolute sunt substituite în ecuația Bernoulli. Să arătăm acest lucru cu un exemplu simplu (Fig. 1.32). Să fie necesar să se determine viteza de curgere a lichidului dintr-un rezervor printr-o gaură din perete la o presiune constantă (nivelul de lichid din rezervor este constant).

Desenăm secțiunea 1-1 la nivelul lichidului din rezervor și secțiunea 2-2 la ieșirea jetului din orificiu. Desenăm un plan de comparație orizontal arbitrar x0y. Cantitatile cunoscute sunt z 1 , z 2 (z 1 -z 2 = h), p 1 = p 2 = p a (rezervorul este deschis și curgerea are loc în atmosferă). Apoi, neglijând pierderile minore de presiune când jetul iese din gaură și luând coeficientul o= 1, din ecuația (1.122) găsim .

Măsurarea presiunilor și a vitezelor locale. Un fluid în repaus nu are energie cinetică. Atunci integrala Bernoulli (1.118) ia forma

Indicând presiunea pe suprafața liberă a lichidului p 0 și coordonatele sale z 0 (Fig. 1.33), putem da ecuației (1.128) forma

Sau . (1.129)

După ce am indicat adâncimea de scufundare a punctului (de exemplu, O) sub suprafaţa liberă a lichidului prin h = z 0 -z, să dăm (1.129) forma .

Aceasta din urmă este ecuația de bază a hidrostaticii (1.26) și a fost obținută mai devreme prin rezolvarea ecuațiilor de echilibru diferențial lui Euler.

Să intrăm în subiect ÎN(Fig. 1.33) piezometru închis, care este un tub de sticlă cu un capăt superior sigilat din care aerul a fost îndepărtat. Sub influența presiunii în punct ÎN lichidul se ridică la o anumită înălțime h'. Pentru a o calcula, scriem (1.26) pentru un fluid în repaus într-un piezometru. Deoarece aerul a fost îndepărtat din el, presiunea deasupra lichidului va fi zero.

Astfel, înălțimea lichidului care se ridică în piezometru pe o anumită scară (1: g) determină energia potențială specifică a stării lichide, iar expresia (1.131) poate fi utilizată pentru a calcula presiunea măsurată cu ajutorul unui piezometru. Formula (1.131) determină metoda de conversie a presiunilor exprimate prin înălțimea unei coloane de lichid în unități dimensionale.

Deoarece (1.26) a fost obținută pe baza lui (1.130), este ușor de observat că în orice punct al unui fluid dat în repaus plasăm un piezometru, suma coordonatelor. z acest punct și înălțimea creșterii lichidului în piezometru rămân constante, adică meniscul superior al lichidului din piezometru va fi întotdeauna la același nivel. Plan orizontal a-a(Fig. 1.33) trase prin meniscurile superioare ale lichidului în piezometre se numește plan de presiune construit folosind presiunea absolută.

Un piezometru închis, după cum vedem, măsoară presiunea absolută într-un lichid. Excesul de presiune poate fi măsurat folosind piezometru deschis, care este un tub de sticlă deschis la ambele capete.

Să plasăm un piezometru deschis (vezi Fig. 1.33) într-un punct situat la aceeași adâncime sub suprafața liberă cu punctul ÎN. Din (1.26) este clar că presiunile în punctele și ÎN va fi la fel.

Presiunea atmosferică va acționa deasupra suprafeței libere a lichidului din piezometru, deci pe baza (1.26) putem scrie , de unde

, (1.132)

adică, înălțimea lichidului care se ridică într-un piezometru deschis pe o scară (1: g) măsoară aceeași energie potențială specifică a stării lichide, dar determinată de excesul de presiune.

Ceea ce s-a spus mai sus despre nivelurile de lichid în piezometrele închise este valabil și pentru cele deschise, singura diferență fiind că planul de presiune al excesului de presiune (vezi Fig. 1.33), trasat prin meniscurile superioare ale lichidului în piezometrele deschise, va fi situat sub avion a-a la inaltime , care este ușor de verificat folosind (1.132) și (1.133).

Pentru a măsura vitezele locale în canale închise, mișcarea fluidului în care se numește presiune, se folosește un tub Pitot-Prandtl, care este o combinație între un tub Pitot și un piezometru (Fig. 1.34), care sunt de obicei combinate într-un singur proiect. .

Tubul Pitot-Prandtl este introdus în flux în așa fel încât capătul deschis al tubului Pitot să fie îndreptat perpendicular pe vectorul viteză, iar capătul deschis al piezometrului să fie direcționat tangențial.

Ca și în cazul precedent, condiția este valabilă pentru tubul Pitot

, (1.133)

numai înălțimea hși au un sens diferit aici (vezi Fig. 1.34).

Deoarece lichidul alunecă lângă secțiunea de admisie a piezometrului fără frânare, în el va acționa aceeași presiune ca și în lichidul în mișcare, adică. Pentru aceasta, pe baza (1.70), putem scrie (deoarece presiunea atmosferică acționează asupra suprafeței libere a lichidului din piezometru, ca și în tubul Pitot) ecuația

dar în acest caz reprezintă înălțimea lichidului care se ridică în piezometru.

Expresia (1.134), valabilă și în cazul în cauză, după înlocuire Şi va duce din nou la (1.135), iar pentru calcule practice este necesar să se scrie

Unde Cu= 1,01…1,05; h- diferenta de niveluri de lichid in tubul Pitot si piezometru.

Măsurarea debitului. Tubul Pitot-Prandtl este folosit pentru a măsura vitezele de mișcare locale. Dacă se cunoaște secțiunea transversală a debitului, debitul poate fi calculat folosind ecuația (1.26). Există instrumente pentru măsurarea directă a debitului. Debitmetrul Venturi și diafragma normală (săibă) sunt utilizate pe scară largă în practică.

Debitmetru Venturi. Marele avantaj al acestui dispozitiv este simplitatea designului și absența oricăror părți în mișcare. Poate fi amplasat orizontal, vertical și în orice unghi, ceea ce nu are o importanță fundamentală. Să considerăm un debitmetru cu axă orizontală (Fig. 1.35).

Este format din două țevi cilindrice OŞi ÎN diametru d 1, conectat prin două secțiuni conice (duze) CŞi D cu inserție cilindrică E diametru mai mic d 2. În secțiunile 1-1 și 2-2, piezometrele sunt conectate la debitmetru OŞi b, diferența de niveluri de lichid în care arată diferența de presiune în aceste secțiuni.

Compilând ecuația Bernoulli pentru secțiunile 1-1 și 2-2 și neglijând pierderile foarte mici la o lungime scurtă între aceste secțiuni, obținem

, (1.136)

unde , dar și, prin urmare, .

1) Sistemul de ecuații Navier-Stokes și ecuația de continuitate conțin 6 necunoscute: trei componente ale vectorului viteză, densitatea, presiunea și coeficientul de vâscozitate Coeficientul de vâscozitate depinde numai de temperatură și este de obicei considerat o funcție dată a temperaturii absolute Г :

Această ecuație conține o nouă a șaptea necunoscută - temperatura absolută este legată de densitate și presiune prin ecuația de stare:

În funcție de natura mediului, funcția are una sau alta structură. În cazul gazelor, suntem de acord să luăm ecuația de stare în forma Clayperon:

unde este constanta gazului; în cazul unui fluid incompresibil, această ecuație este înlocuită cu condiția

Deci, am ajuns la un sistem de șase ecuații scalare [trei ecuații Navier-Stokes, ecuație de continuitate, ecuații], care conține 7 necunoscute:

Pentru ca problema să fie formulată, este nevoie de încă o ecuație.

O astfel de ecuație de închidere este ecuația balanței energetice. Vom monitoriza o anumită masă de lichid care ocupă un volum Legea conservării energiei spune că modificarea energiei acestei mase de lichid pe unitatea de timp este egală cu puterea forțelor externe, afluxul de energie din exterior și. puterea surselor interne de energie:

Energia unei mase lichide constă din două componente: energia cinetică, adică energia mișcării macroscopice a particulelor.

Energia internă, adică energia mișcării termice a moleculelor unui gaz sau lichid.

Pentru gaze, în cazul general, expresia are o structură destul de complexă. Vom lua în considerare doar cazul unui „gaz perfect”, adică un gaz a cărui energie internă este determinată doar de mișcarea de translație a moleculelor. Aceasta înseamnă că energia gradelor de rotație de libertate ale moleculelor este neglijabilă în comparație cu energia mișcării de translație. În acest caz, termodinamica dă expresia

unde este capacitatea termică a unui gaz la volum constant, raportată la capacitatea termică la presiune constantă prin formula

cantitate „echivalent mecanic de căldură” Lucrul forțelor externe constă în lucrul forțelor de masă și munca forțelor de suprafață

unde este viteza de mișcare a particulelor lichide, suprafața limitând volumul

Vom presupune că afluxul de energie din exterior are loc numai datorită conductivității termice. Apoi, conform legii lui Fourier, cantitatea de căldură primită prin suprafață pe unitatea de timp (în unități mecanice) este determinată de formula

unde este coeficientul de conductivitate termică.

Înlocuind expresiile (36, (37) și (39) - (41) în ecuația (35), putem scrie următoarea ecuație (simplificată) a balanței energetice:

3) Ecuația este o ecuație de bilanț energetic în formă integrală; Pentru a obține o ecuație diferențială este necesar să se efectueze o serie de transformări. În primul rând, observăm că

(Aceste transformări sunt o consecință directă a ecuației de continuitate. În continuare, transformăm integralele peste suprafața inclusă în partea dreaptă a ecuației în integrale peste volum. În primul rând

Aplicând formula Gauss-Ostrogradsky acestei integrale, după calcule evidente obținem

În mod similar, transformăm ultimul termen din ecuație

Folosind formule, transformăm ecuația în formă

de unde, datorită arbitrarului volumului, obținem următoarea ecuație diferențială:

4) În ecuația (47), este necesară înlocuirea componentelor tensorului tensiunii cu următoarele expresii:

Folosind aceste formule și transformarea identității

unde putem da ecuației următoarea formă:

5) Deci, am obținut o ecuație care închide sistemul de ecuații pentru dinamica lichidului și gazului. Această ecuație ar putea fi numită ecuația generalizată de conducere a căldurii, deoarece ecuația de distribuție a căldurii este conținută în ea ca un anumit caz special. De fapt, să presupunem că fluidul este în repaus; atunci ecuația (49) va avea forma

Dacă diferența de temperatură este mică, atunci coeficientul k poate fi considerat independent de coordonate și ajungem la binecunoscuta ecuație de conducere a căldurii

unde coeficientul se numește coeficient de difuzivitate termică.

Ecuația (50) descrie propagarea căldurii într-un fluid în repaus datorită mecanismului conductivității termice. Acest mecanism asigură viteza instantanee de propagare a perturbaţiilor termice (vezi Fig. 5). Să presupunem că am conferit unei particule de fluid situată în punctul x în momentul de timp o perturbare a pulsului în care funcția delta este egală cu zero peste tot, cu excepția punctului și astfel încât atunci distribuția temperaturii în orice moment de timp este descris prin formula

Vedem că indiferent de valoarea abscisei în orice moment altul decât zero, temperatura va fi și ea diferită de zero.

6) Raționamentul care a fost efectuat aici se referă la cazul unui fluid în repaus și s-a presupus în mod tacit că dacă în momentul de pornire Dacă lichidul este în repaus, atunci va fi în repaus în momentele ulterioare de timp. Acesta nu este, în general, cazul. De fapt, dacă temperatura se modifică, atunci, conform ecuației de stare, densitatea și presiunea se vor schimba, ceea ce la rândul său va determina deplasarea fluidului. Astfel, o modificare a temperaturii mediului determină mișcarea lichidului. Problemele propagării căldurii și problema mișcării fluidelor trebuie luate în considerare împreună. Numai într-un caz special pot fi separate aceste probleme - în cazul unui fluid incompresibil, în ipoteza că coeficientul de vâscozitate nu depinde de temperatură. Atunci problema mișcării fluidului se reduce la rezolvarea ecuației de continuitate

și ecuațiile Navier-Stokes

După ce am determinat vectorul și scalarul din aceste ecuații, putem determina apoi câmpul de temperatură din ecuație, care în acest caz ia forma

7) Din ecuația (54) este clar că, pe lângă mecanismul conductivității termice, transferul de căldură convectiv joacă un rol în propagarea transferului de căldură datorită mișcării particulelor lichide. Prin urmare, perturbațiile termice se pot propaga și în interiorul unui lichid lipsit de conductivitate termică Pentru a explica acest lucru, să luăm în considerare problema mișcării unui gaz ideal neconductiv, când ecuația (49) ia forma.

Urmând legea conservării energiei, vom întocmi un bilanț energetic pentru o masă de gaz care umple mai întâi volumele 1 - 2, iar după un timp dt volum 1" - 2" (Fig. 3.3). Deoarece volumul umbrit 1" - 2 le este comun, creșterea oricărui tip de energie este egală cu diferența de energie de acest tip în volume infinitezimale 2 - 2" și 1 - 1".

Creșterea energiei cinetice

Creștere de energie potențială

Unde Z 2Şi Z 1– înălțimile secțiunilor 1 și 2, g– accelerarea gravitației.

Creșterea energiei interne (termice).

Unde u=С n T- energia interna pe unitatea de masa de gaz, egala cu produsul capacitatii termice la presiune constanta Cu n la temperatura absolută. Dacă Cu n =const, Asta

Când mutăm volumul pe care l-am selectat din starea 1 - 2 în starea 1" - 2", forțele externe funcționează. Transferul de gaz de la secțiunea 1 la 1" are loc ca sub acțiunea unui piston cu o zonă F 1 cu presiune P 1.

Piston funcționează la timp dt egal cu

Următoarele relații sunt utilizate aici

F 1 w 1 =V 1 - volumul pe care pistonul îl deplasează în 1 s; m3/s;

n1 =V1/M- volum specific m3/kg;

M- debit masic, kg/s;

r 1 =1/n 1 densitate kg/m3;

dM- masa pe care pistonul o deplaseaza in timp dt

La fel și pentru secțiunea 2. În timp dt gazul va muta pistonul în poziția 2", producând lucru asupra mediului extern, pe care îl vom considera negativ,

Astfel, energia contribuită de forțele de presiune este egală cu diferența dintre lucrul pistonului 1 și 2:

La fluxul de gaz din secțiunea 1 - 2 în timp dt căldura poate fi furnizată în cantități dQ. Un flux de gaz poate face lucrări tehnice dL, de exemplu, rotirea unei roți de turbină instalată între secțiunile 1 și 2. Ar trebui, de asemenea, luată în considerare energia cheltuită pentru depășirea forțelor de frecare dL tr. Conform primei legi a termodinamicii, furnizat gazului energie termică dQ iar munca forțelor de presiune este cheltuită pentru efectuarea lucrărilor tehnice dL, munca forțelor de frecare dL tr, precum și pentru creșterea rezervelor de energie potențială, internă și cinetică:

Împărțirea tuturor termenilor expresiei rezultate la dM, obținem ecuația de energie scrisă pentru 1 kg masa de gaz

Unde q- căldură furnizată către 1 kg gaz; dL- munca terminata 1 kg gaz; dL tr- munca de depasire a fortelor de frecare atribuibile 1 kg gaz.

Câștig de căldură q realizat în două moduri: din exterior ( q nar) - datorită schimbului de căldură prin suprafața laterală a jetului sau datorită degajării de căldură în jetul însuși ca urmare a arderii combustibilului și din interior ( q tr)- datorită conversiei lucrărilor de frecare în căldură L tr:

În formă diferențială

Alături de ecuațiile de conservare a masei și a impulsului, care au fost folosite mai sus pentru a deriva ecuațiile de continuitate și mișcare, ecuația energiei este, de asemenea, utilizată pentru a descrie un mediu continuu. Să luăm în considerare ecuația energiei pentru cazul special al unui proces adiabatic, când nu există schimb de căldură între elementele unui mediu continuu. În acest caz schimbarea energie internă E elementul unui mediu continuu cu masă (particulă lichidă) este asociat doar cu o modificare a volumului său (în absența surselor de căldură volumetrice): . Introducând energia pe unitatea de masă a materiei în considerare, obținem

Din moment ce , Asta

.

În conformitate cu ecuația de continuitate , De aceea

.

Această ecuație descrie distribuția densității volumetrice a energiei interne și modificarea acesteia cauzată de deformarea și mișcarea mediului. În același timp, modificările energiei interne pot fi cauzate de procese asociate cu eliberarea sau absorbția de energie, de exemplu, în timpul încălzirii prin curent electric sau în timpul reacțiilor chimice. Pentru a ține cont de aceste fenomene, modificăm ultima ecuație prin adăugarea în partea dreaptă a unui termen având dimensiunea W/m 3 , care descrie viteza de eliberare sau absorbție, în funcție de semn, a energiei în punctele mediului continuu. .

Astfel, sistemul complet de ecuații pentru dinamica unui lichid ideal (gaz) în regim adiabatic are forma

(58)

Ultima egalitate este o ecuație de stare care închide sistemul și determină proprietățile fizice specifice ale mediului. Iată exemple de ecuație de stare:

1. Gaz ideal: , unde este constanta lui Boltzmann, n- concentrația de particule în gaz, M- masa particulelor.

2. Lichid incompresibil:

3. Apa la presiuni mari, unde , - presiunea si densitatea in conditii normale.

Ultimul exemplu arată că pentru a crește densitatea apei cu 20% este necesară o presiune în exces. Revenind la ecuația energiei, obținem

,

unde în schimb se ia produsul dintre concentrația particulelor și masa particulelor. Particulele de gaz au în general s grade de libertate. Pentru fiecare grad de libertate în echilibru termodinamic există energie . Apoi, după înlocuirea expresiei pentru energia internă a unei unități de masă a unui gaz ideal în ecuația energiei pe care o obținem

,

, ,

unde și sunt constante. Ultima egalitate i se poate da forma , unde este exponentul adiabatic. Constanta poate fi determinată din condițiile inițiale . Ca rezultat, ecuația adiabatică va lua forma

Legea conservării energiei. Bilanțul energetic. Energie, muncă, căldură. Energia internă, energia potențială, energia cinetică.

Ecuația lui Bernoulli pentru gaz. Ecuația entalpiei. Flux adiabatic. Flux izolat energetic. Curgerea izoentropică.

Flux izoentropic izolat de energie.

Studiind ecuații de bază și dependențe , folosit în dinamica gazelor , este convenabil să se efectueze mai întâi pentru firicel elementar sau flux unidimensionalși apoi extindeți-le la tipuri de mișcare mai complexe.

De mare importanță în dinamica gazelor este legea conservării energiei . După cum se știe, el afirmă faptul că

energia nici nu apare, nici nu dispare, ci doar se transformă de la un tip la altul.

Prin urmare, după ce a realizat un bilanț energetic pentru o anumită cantitate de gaz, de exemplu, pt unități de masă, se poate găsi relația dintre diferitele componente ale energiei. Astfel de notatie matematica echilibru energeticși reprezintă ecuația energiei .

Compilare echilibru energetic Să ne uităm la un exemplu unitate cu turbină cu gaz , a cărei diagramă este prezentată în Figura 6.

Prin intrare secțiunea 1 aerul din atmosferă intră în compresor, unde este comprimat și alimentat în camera de ardere. Acolo, în camera de ardere, intră combustibil lichid care, amestecat cu aer, arde, eliberând o cantitate mare. căldură . Astfel, produsele de ardere formate acolo intră în turbină din camera de ardere cu temperatură ridicatăși hipertensiune arterială. În turbină se extind, producând lucru - rotirea rotorului. O parte din munca turbinei este transferată la rotația compresorului folosind arborele, cealaltă parte este dată consumatorului. Gazele de eșapament părăsesc turbină, ieșind prin secțiunea 2.

Energie aer care intra, pe unitatea de masă , desemnat E 1, energie gaze de esapament - E 2.

Aport de căldură desemnat Q e. Index " e" înseamnă că a fost furnizată căldură din afara (externus – lat. extern , străin).

Nu există nicio contradicție aici: în ciuda faptului că arderea a avut loc în interiorul camerei și acolo era degajată căldura care a încălzit gazul, această energie a fost introdusă din exterior într-o formă ascunsă, împreună cu combustibilul. În consecință, întrucât nu este stabilită sarcina studierii proceselor fizico-chimice de ardere, ci sunt luate în considerare doar fenomene de natură gazodinamică, putem presupune că căldura în cantitate Q e a fost introdus în camera de ardere din exterior.

Postpe arborele de instalare, dat consumatorului, este indicat L. De asemenea, ea raportat la o unitate de masă aerul care trece prin instalație.

Pe Figura 7înfățișat diagramă de flux simplificată. Pe zona de aşezareîntre secțiuni transversale 1Şi 2 , la fel ca în cazul precedent, se furnizează căldură Şi se atribuie lucrări mecanice . Prin urmare, pentru diagrama simplificata echilibru energetic va fi la fel ca pentru unitate cu turbină cu gaz, dar utilizarea acestei scheme este mai simplă și mai convenabilă.

Bilanțul energetic pentru modelul de curgere luat în considerare poate fi scris prin următoarea ecuație:

E 1 - E 2 + Q e - L = 0. (2.1)

Apoi, trebuie să descifrezi ce înseamnă rezerva totală de energie a unei unități de masă de gaz E. Trebuie avut în vedere însă că în „energie plină” nu este nevoie să includeți toate componentele sale (de exemplu, chimice, electrice, intranucleare); este destul de suficient să se ia în considerare doar acele tipuri de ea care se pot transforma una în alta în limitele problemelor gazodinamice studiate. Atunci putem scrie asta

E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz, (2.2)

Unde u – energie internă unități de masă de gaz;

p/ρ– energie potenţială presiune unități de masă de gaz;

w 2/2– energie cinetică unități de masă de gaz;

gz– energia potenţială prevederi (nivel) unitate de masă a gazului;

z– înălțimea geometrică;

g – accelerație gravitaţie .

Toate cantitățile specificate sunt măsurate în unități de lucru pe unitatea de masă, și anume în J/kg sau, ceea ce este la fel, în m2/sec 2(în sistemul SI).

Substituind în ecuația (2.1) valorile E 1Şi E 2, exprimată folosind ecuația (2.2) și ținând cont de faptul că diferența de energii interne u 1 – u 2 = C v (T 1 -T 2), primim

C v (T 1 -T 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 +(w 1 2 - w 2 2)/2+g(z 1 -z 2) +Q e -L= 0. (2.3)

Asta este ecuația energiei pentru un flux unidimensional sau pentru un filtru elementar. Arată ce se întâmplă schimba energia internă C v (T 1 -T 2), energia potențială a presiunii p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2, energia cinetică (w 1 2 - w 2 2)/2, energia potențială a poziției g(z 1 -z 2) ca urmare a acțiunii căldurii furnizate din exterior Q eŞi munca L, furnizate cu gaz către consumatorii externi . Schimba energie internă asociat cu schimbarea temperatură gaz, energie cinetică- cu schimbare viteză curgere, nivelul de energie potențială- cu schimbare poziție de altitudine masa de gaz luată în considerare deasupra planului luată ca origine. Cât despre schimbare energie potenţială de presiune, atunci necesită o clarificare specială.

Pe Figura 8 arată secțiunea calculată a debitului limitat la intrare secțiune transversală 1 si la iesire - secțiunea 2.

La intrare gaz prin secțiune 1 rezistenţă presiunea externă p 1 F 1, împingând spre zona de aşezare volumul de gaz F 1 Δx 1, face treaba p 1 F 1 Δx 1 .

La ieșire din zona de proiectare, prin sectiune 2 volum gaz F 2 Δx 2 functioneaza împotriva forțelor de presiune exterioare p 2 F 2 Δх 2.Împărțind aceste lucrări la masa gazului în volumele corespunzătoare, obținem

L W = p 1 F 1 Δx 1 / ρ 1 F 1 Δx 1 = p 1 /ρ 1 ,

L out = p 2 F 2 Δx 2 / ρ 2 F 2 Δx 2 = p 2 /ρ 2.

Prin urmare, p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 =L in -L out reprezintă diferența dintre munca de împingere și împingere unități de masă ale gazului. Această valoare caracterizează acumulare (Dacă p 1 /ρ 1 >p 2 /ρ 2) energie potenţială presiune sau cheltuieli ea (dacă p 1 /ρ 1

) flux de gaz situat în interiorul zonei calculate.

Schimbarea nivelului de energie potențială g(z 1 -z 2) în problemele legate de calculul mașinilor sau instalațiilor de energie termică, de regulă, este o valoare neglijabilă față de alți termeni ai ecuației energiei. De obicei nu depășește 50…100 m2/sec 2, în timp ce ceilalți termeni au ordinea 10 000…100 000 m2/sec 2. Prin urmare, în toate raționamentele și calculele ulterioare, valoarea g(z 1 -z 2) vor fi aruncate. Cu toate acestea, este necesar să se acorde atenție problemelor de acest fel, cum ar fi calculul sistemelor de ventilație a minei, în care modificarea energiei potențiale a nivelului este foarte mare și poate depăși valorile altor termeni ai energiei. ecuaţie. În aceste cazuri valoarea g(z 1 -z 2) trebuie luate în considerare.

Ecuația energiei poate fi dată cu una diferită, în multe cazuri o formă mai convenabilă pentru calcule. Să transformăm suma termenilor

C v (T 1 -T 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 = (C v T 1 +p 1 /ρ 1) -(C v T 2 +p 2 /ρ 2)=

=(C v T 1 +RT 1) -(C v T 2 + RT 2)= (C v +R)(T 1 -T 2) = C p (T 1 -T 2) ,

folosind relaţia C p –C v =R cunoscută din termodinamică, și înlocuiți expresia rezultată în ecuația (2.3). Atunci ecuația energiei poate fi scrisă mai compact

C p (T 1 -T 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q e - L = 0, (2.4)

si cel mai important, trei parametrii termodinamici p, ρŞi T acum poți doar înlocui unul – entalpie h=C p T. („Trei într-unul”!)

(2.5)

Această vedere ecuații de energie numit si ecuația entalpiei sau continutul de caldura, deoarece include entalpia h.

Următoarea regulă semnului este adoptată în ecuația energiei. Căldura externă furnizată este considerată pozitivă, iar căldura externă îndepărtată este considerată negativă; munca efectuată de gaz și transferată către un consumator extern este pozitivă, iar munca furnizată gazului din exterior și cheltuită pentru comprimarea acestuia este negativă. Astfel, în încălzitor gaz (camera de ardere) cald conteaza pozitiv , V mai rece - negativ ; Post , obținut în turbină, - pozitiv , și cheltuită pe rotație compresor - negativ . Această regulă semnului este în concordanță cu ecuația prima lege a termodinamicii.

Ecuația energiei des folosit V formă diferențială . Pentru a-l obține în această formă, vom folosi această tehnică. Să aducem mental a doua secțiune mai aproape de prima, reducând lungimea secțiunii calculate la infinitezimal. Apoi in limita primim în schimb Q eŞi L respectiv dQ eŞi dL,în loc de diferenţe finite T 1 – T 2Şi (w 1 2 - w 2 2)/2 obținem diferențele corespunzătoare – dTŞi – d(w 2/2).

În ultimele două expresii semnul minus a aparut deoarece se iau diferente infinitezimale T1-T2Şi (w 1 2 - w 2 2)/2, nu T2-T1Şi (w 2 2 - w 1 2)/2.

Substituind aceasta în ecuația de energie (2.4) și inversarea semnelor , primim ecuația energiei în formă diferențială sau ecuația energiei diferențiale

(2.6)

Dacă comparăm expresia pentru rezerva totală de energie (2.2)

E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz,

cu partea stângă Ecuații Bernoulli, care reprezintă și cantitatea rezervă completă de energie unități de masă fluid incompresibil

p/ρ + w 2 /2 + gz = const,

atunci se poate observa că în cazul unui gaz se introduce suplimentar valoarea energetică internă u. Acest lucru se explică prin faptul că atunci când ρ≠const procesele termice afectează densitatea gazului și, deoarece expansiunea sau compresia acestuia este asociată cu lucrul, această influență se extinde în cele din urmă la componentele mecanice ale energiei. Astfel, în ecuaţiile energetice(2.4) și (2.5) sunt cantitati care au ambele mecanic, deci termic origine (calorică).

încă unul un fel de ecuație energetică este ecuația Bernoulli generalizată pentru gaz . Diferă de ecuațiile (2.4) sau (2.5) prin faptul că toate elementele incluse în ea termenii au mecanic origine. Această ecuație poate fi obținută în felul următor. Să folosim aceeași tehnică cu care a fost obținută mai sus ecuația de energie diferențială (2.6) și să reprezentăm ecuația (2.3) în formă diferențială:

(2.7)

Cantitatea de căldură Q, gazos, și cantitatea de căldură Q e, furnizate la el din afara, în general nu la fel : încă mai există căldură de frecareQ r, care se eliberează din cauza frecării gazelor împotriva pereților, frecării interne (care apar între straturi care se deplasează cu viteze diferite), formării de vârtejuri etc. Această căldură este absorbită și de gaz. De aceea

Q = Q e + Q r = Q e + L r. (2.8)

dQ e = dQ – dL r, (2.9)

Unde Lr-lucru de frecare (în unitățile SI Q r =L r).

Cantitatea de căldură absorbită de gaz, poate fi determinat folosind ecuația prima lege a termodinamicii

dQ = C v dT + pdv. (2.10)

Înlocuind această expresie în formula (2.9), obținem

C v dT = dQ e + dL r -pdv. (2.11)

In plus,

d(p/ρ)=d(pv)=pdv+vdp/. (2.12)

După înlocuirea formulelor (2.11) și (2.12) în ecuația de energie (2.7) și înlocuirea volumului specific prin densitate v=1/ρ primim Ecuația lui Bernoulli pentru gaz în formă diferenţială

dp/ρ+d(w2/2)+dL+dLr =0. (2.13)

La rezolvarea unor probleme specifice, ecuația Bernoulli este integrată în intervalul de la secțiunea inițială a secțiunii de calcul până la final

(2.14)

Dacă în timpul procesului de soluție este necesar să se obțină parametrii de curgere într-o secțiune intermediară a secțiunii de calcul, atunci în timpul integrării această secțiune este luată ca secțiune finală. Când rezolvați, puteți lua integrala nedefinită. Constanta de integrare este apoi determinată din condițiile la limită, care sunt de obicei considerate condiții de la intrarea în secțiunea de calcul.

Pentru a calcula ∫(dp/ρ), trebuie să știi relația dintre rŞi ρ , adică au o ecuație pentru procesul termodinamic în care curge gazul, de exemplu ecuația politropică p/ρ n =const. Dacă procesul termodinamic este cunoscut, atunci este cunoscut și indicele politropic. La politropică integrarea proceselor dă

la izotermic proces ( n=1)

1 2 ∫(dp/ρ)=(p 1 /ρ 1)ℓn(p 2 /p 1)=RT 1 ℓn(p 2 /p 1). (2.16)

Comparând unul cu altul ecuația energieiŞi ecuația lui Bernoulli, de exemplu (2.4) și (2.14), se poate observa că primul ia în considerare căldura externă, dar nu conține în mod explicit lucrul de frecare, în timp ce al doilea nu conține în mod explicit căldura externă, ci ia în considerare lucrul de frecare. Prin urmare, se pare că aceste ecuații nu iau în considerare toate caracteristicile fluxului. În realitate nu este cazul. Deși munca de frecare nu este inclusă în mod explicit în ecuația energiei, influența sa afectează, în primul rând, temperatura T 2.

În ceea ce privește ecuația Bernoulli, ea ia în considerare căldura externă la calcul ∫(dp/ρ), și anume, cantitatea depinde de cantitatea de căldură furnizată indice politropic n.

Să luăm în considerare ecuații de energie Pentru cazuri speciale de curgere a gazelor .

Adiabatic ( sau adiabatic) curent . Acest flux are loc fără alimentare externă sau îndepărtare a căldurii , adică Q e =0. În ceea ce privește alimentarea internă a căldurii (căldură de frecare Q r) nu se fac rezervări, i.e. este fie prezent, fie egal cu zero. Ecuația energiei in acest caz arata asa:

(2.17)

O ecuația lui Bernoulli păstrează forma (2.14)

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L+ L r =0.

Ecuația (2.17) este de mare importanță în practica experimentală. Este utilizat, de exemplu, în determinarea experimentală a funcționării unei turbine sau a unui compresor, atunci când determinarea directă a puterii din cuplu și turație este dificilă din motive tehnice. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să măsurați temperaturile și vitezele gazului la intrarea și ieșirea din mașină și să faceți calculul folosind formula (2.17). Rețineți că în practică situația este și mai simplă. Sunt măsurate nu temperatura și viteza gazului separat, dar temperatura de stagnare.

Flux izolat de energie. Acest flux are loc fără schimb de căldură extern (Q e =0) Și fără intrare sau ieșire de lucru mecanic extern (L=0), adică fără schimb de energie cu mediul extern în zona dintre secțiunile de intrare și de evacuare. Ecuația energiei pentru un flux izolat energetic se scrie astfel:

(2.18)

C p T 1 + w 1 2 /2 = C p T 2 + w 2 2 /2. (2.19)

Semnificația ultimei egalități este că, într-un flux izolat de energie, rezerva totală de energie a unei unități de masă de gaz rămâne neschimbată, deoarece în secțiunea calculată energia nu este furnizată din exterior și nu este descărcată în mediul extern.

ecuația lui Bernoulli pentru acest tip de flux ia forma:

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L r =0. (2.20)

Modelul de flux izolat de energie este utilizat la calcularea difuzoarelor, duzelor nerăcite și a altor canale fixe în care schimbul de căldură cu mediul extern este neglijabil.

Izoentropic (sau izoentropic sau izoentropic) curgere . Acest flux are loc la entropie constantă S=const. Pentru ca entropia să rămână constantă, este necesar să se satisfacă condiția Q=0. Din formula (2.8) rezultă că acesta poate fi când Q e =0,Q r =0 sau când Q e = – Q r . Al doilea caz prevede transferul de căldură către mediul extern, exact egal cu transferul de căldură de la frecare. Un astfel de echilibru de căldură precis poate fi întâlnit rar în practică și, prin urmare, nu este luat în considerare aici. Astfel, putem presupune că fluxul va fi izoentropic dacă nu există frecare și schimb de căldură extern . Pentru acest tip de curgere ecuația energiei scris în același mod ca pentru fluxul adiabatic (vezi formula (2.17))

C p (T 1 -T 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 - L = 0,

O ecuația lui Bernoulli are forma:

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L=0. (2.21)

Atunci când calculați integrala aici, trebuie să rețineți că rŞi ρ conectat ecuația izoentropică p/ρ k =const. Modelul de flux isentropic este utilizat în calcule teoretice și cercetare ideal compresoare si turbine.

Flux izoentropic izolat de energie. Acest flux are loc fără metabolism energetic cu mediul extern ( Qе=0, L=0) Și fără frecare (Lr=Qr=0). În acest caz, condițiile sunt îndeplinite automat izoentropic (izoentropic) proces. Ecuația energiei are aceeași formă ca pentru fluxul izolat de energie (2.18) sau (2.19)

C p (T 1 -T 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 = 0,

C p T 1 + w 1 2 /2 = C p T 2 + w 2 2 /2,

O ecuația lui Bernoulli este scris asa:

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 =0. (2.22)

Și aici, la calcularea integralei, se stabilește legătura dintre presiune și densitate ecuația izoentropică. Acest caz special este folosit destul de larg. De exemplu, în dinamica teoretică a gazelor Cele mai multe probleme sunt luate în considerare în ipoteza exactă a acestui tip de flux.

În formă diferențială, ecuațiile (2.18) și (2.22) au următoarea formă:

C p dT + d(w 2 /2) = 0, (2.23)

dp/ρ + d(w 2 /2) = 0.(2.24)

Să ne uităm la două forme foarte comune de notație: Ecuații Bernoulli Pentru flux izoentropic izolat de energie. Integrând ecuația (2.24), avem

∫(dp/ρ) + w 2 /2 = const.

Folosind ecuația izoentropică

p/ρ k = B = const,

și următoarele relații evidente

ρ k = (p/B); ρ = (p/B) 1/ k ; B 1/ k = (p/ρ k) 1/ k =p 1/ k /ρ;

să găsim valoarea integralei

∫(dp/ρ) =∫(dp/(p/B) 1/ k)= B 1/ k ∫(dp/p 1/ k)= B 1/ k ∫p -1/ k dp=

= B 1/k p (1-1/k) /(1-1/k)= p 1/k ∙ p (1-1/k) ∙ k/ρ∙(k-1) =

=(k/(k-1))(p 1/k ∙ p (k-1)/k /ρ) = (k/(k-1)) p/ρ.

și, înlocuind-o în ecuația anterioară, obținem

(k/(k-1)) p/ρ + w 2 /2 = const. (2.25)

Dacă comparăm ecuația (2.25) cu ecuația lui Bernoulli pentru curgerea orizontală a unui fluid incompresibil ideal

p/ρ + w 2 /2 = const,

atunci puteți observa că ele diferă doar în primul termen: pentru gaz, coeficientul în fața p/ρ egală k/(k-1) pe când pentru un fluid incompresibil este egal cu 1 . Astfel, valoarea k/(k-1) ia în considerare efect de compresibilitate.

Dacă folosim relația care este folosită pentru a determina viteza sunetului a 2 = kRT= kp/ρ, și transformă primul termen al ecuației (2.25), apoi acesta din urmă ia forma:

a/(k-1) + w 2 /2 = const. (2.26)

Acest formular de înscriere Ecuații Bernoulli utilizat pe scară largă în dinamica teoretică a gazelor.

G p/ρ k =const. p/ρ = RT. a= √kRT. a 2 = kRT= kp/ρ.

E 1 - E 2 + Q e - L = 0. E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz.

C v (T 1 -T 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 +(w 1 2 - w 2 2)/2+g(z 1 -z 2) +Q e -L= 0.

C v dT + d(p/ρ) + d(w 2 /2) - dQ e + dL = 0.

C p (T 1 -T 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q e - L = 0.

h 1 -h 2 + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q e - L = 0.

C p dT + d(w 2 /2) - dQ e + dL = 0.

dp/ρ+d(w2/2)+dL+dLr =0.

(k/(k-1)) p/ρ + w 2 /2 = const. a/(k-1) + w 2 /2 = const.

p/ρ + w 2 /2 = const.

Un bilanţ energetic poate fi întocmit pentru orice tipar de flux. S-a luat exemplu de turbină cu gaz deoarece conține toate componentele bilanţului energetic considerat în problemele de dinamică a gazelor.

Trebuie menționat că această ecuație a fost obținută în zilele noastre. Numele lui Daniel Bernoulli i-a fost dat deoarece este o generalizare a ecuației Bernoulli cunoscută în hidrodinamică la cazul fluxului de gaz.

Se ia integrala nedefinită.