Уравнение энергии в тепловой форме. Уравнения энергии в общем виде

Уравнение и интеграл Бернулли. Решение уравнений Эйлера (1.76) приводит к одному из наиболее важных уравнений гидродинамики - уравнению Бернулли. Умножим первое из уравнений Эйлера (1.76) на dx , второе - на dy , третье - на dz , а затем почленно сложим. В результате получим

Проинтегрируем (1.108) вдоль элементарной струйки при следующих допущениях:

Рассмотрим отдельные суммы, входящие в (1.108).

Учитывая, что , , , представим сумму в левой части в виде

, (1.109)

где u - действительная полная скорость в данной точке.

На основании второго и третьего допущений проекции ускорений массовых сил на оси координат составят X=Y= 0, Z=-g. Тогда первая сумма в правой части (1.108) примет вид

Xdx+Ydy+Zdz=-gdz . (1.110)

В силу первого допущения все параметры потока, в том числе и давление, не зависят от времени и являются функциями только координат, т. е. p = p (x,y,z ). Следовательно, выражение в скобках у второго слагаемого в правой части (1.108) является полным дифференциалом давления, т. е.

. (1.111)

Подставляя (1.109), (1.110), (1.111) в (1.108) и собирая все слагаемые в левой части, получим

. (1.112)

Выражение (1.112) называют дифференциальным уравнением Бернулли.

Единица измерения членов уравнения (1.112) - Дж/кг.

Уравнение Бернулли можно представить в других видах, умножив все его члены на ρ ,

(1.113)

или разделив на g

. (1.114)

При этом единицы измерения всех членов уравнения (1.113) - Па, а (1.114) - м.

Проинтегрировав уравнения (1.112) - (1.114), получим выражения

; (1.115)

; (1.116)

. (1.117)

Уравнения (1.115)-(1.117) называются интегралом Бернулли.

Энергетический смысл интеграла Бернулли . Принимая ρ = const, в результате интегрирования уравнения (1.112) получим

Единица измерения всех членов уравнения (1.118), так же как и (1.112) - Дж/кг.

Движущаяся частичка жидкости обладает вполне определенным запасом механической энергии. Если абсолютно твердое тело обладает запасом потенциальной энергии положения в поле сил тяжести и кинетической энергией, то жидкая частичка, как упругое тело, обладает еще и запасом потенциальной энергии состояния. Эта энергия тем больше, чем больше объем жидкости и чем выше давление, и проявляется в том, что, например, нагнетание жидкости в сосуд может привести к разрушению сосуда, а сжатый газ может совершать работу при расширении.

Следовательно, полная механическая энергия жидкой частички Э может быть определена как сумма Э = П п +П с +К , где П п - потенциальная энергия положения в поле сил тяжести; П с - потенциальная энергия состояния; К - кинетическая энергия.

Потенциальная энергия положения может быть подсчитана по общей формуле механики П п =mgz , где m - масса жидкой частички, кг; z - высота ее положения над горизонтальной плоскостью отсчета, м.

Рассмотрим удельную энергию, приходящуюся на единицу массы жидкости. Удельная потенциальная энергия положения составляет и в интеграле Бернулли (1.118) представлена первым слагаемым.

Потенциальная энергия состояния вычисляется по формуле П с = pV , где p - давление, Па; V - объем жидкой частички, м 3 .

Удельная потенциальная энергия состояния в интеграле Бернулли (1.118) представлена вторым слагаемым.

Кинетическая энергия жидкой частички .

Удельная кинетическая энергия в интеграле Бернулли (1.118) представлена третьим слагаемым.

Полная механическая энергия жидкой частички определяется, следовательно, суммой , а удельная механическая энергия составит

. (1.119)

Сравнивая (1.118) и (1.119), приходим к энергетическому смыслу интеграла Бернулли: удельная механическая энергия идеальной несжимаемой жидкости остается постоянной вдоль элементарной струйки. Таким образом, интеграл Бернулли выражает собой закон сохранения механической энергии для элементарной струйки, т. е. является энергетическим уравнением.

Из интеграла Бернулли следует также вывод о том, что отдельные составляющие удельной механической энергии могут изменяться, но при этом происходит преобразование одного вида энергии в другой, т. е. уменьшение одного слагаемого обязательно должно сопровождаться увеличением хотя бы одного из двух остальных и наоборот.

Сумма членов интеграла Бернулли (1.115) дает полный запас энергии, которым обладает единица массы (e ), (1.116) - единица объема (p ), (1.117) - единица силы тяжести относительно принятой плоскости сравнения (H ).

Члены , , выражают кинетическую энергию, суммы , , - потенциальную энергию, где gz , ρgz , z - потенциальная энергия положения, а , , - потенциальная энергия состояния соответственно единицы массы, объема, единицы силы тяжести. Можно также сказать, что уравнения (1.116) и (1.117) выражают собой то же, что и уравнение (1.99), но в масштабе и соответственно.

Уравнением (1.115) удобно пользоваться при исследовании движения газа с переменной плотностью, например, в пневмосетях и компрессорах.

Если при движении газа изменения давления незначительны и температура постоянна, то можно считать ρ = const. В этих условиях удобно пользоваться уравнением (1.116), которое примет вид

const. (1.120)

Выражением (1.120) удобно пользоваться при исследовании движения воздуха в вентиляционных сетях и вентиляторах.

При движении капельной жидкости (воды, масла и т. п.), плотность которой постоянна, удобнее всего пользоваться уравнением (1.117), которое для ρ = const примет вид

Уравнение (1.121) применяется при расчетах водопроводов, гидромагистралей, насосов.

Часто употребляется иная запись уравнения (1.117). Обозначая индексом 1 параметры потока в первом по ходу движения жидкости сечении струйки, а индексом 2 - в последующем, можем записать

Геометрический смысл уравнения Бернулли. Все слагаемые уравнения (1.122) имеют размерность длины, поэтому можно говорить о геометрическом смысле уравнения Бернулли: z - геометрическая (геодезическая, нивелирная) высота; - пьезометрическая высота; - скоростная (динамическая) высота; - высота потерь энергии (напора).

Приведем иные названия: z - геометрический напор; - пьезометрический напор; - скоростной напор; - потеря напора; - полный напор.

Рассмотрим поток жидкости в канале, измеряя все слагаемые уравнения Бернулли (1.122) в различных сечениях (Рис. 1.30, показаны замеры лишь для двух сечений 1-1 и 2-2 ). За плоскость отсчета примем произвольную горизонтальную плоскость 0-0 .

Геометрические высоты z легко определяются как расстояние по вертикали от плоскости отсчета до центров тяжести соответствующих сечений. Пьезометрические высоты определяются как высоты поднятия жидкости в пьезометрах, отсчитанные по вертикали от центров тяжести соответствующих сечений. Скоростные высоты определяются как разности уровней жидкости в трубках Пито и пьезометрах, помещенных в соответствующие сечения (необходимо отметить, что для точного измерения величины трубку Пито следует помещать в такую точку сечения, где локальная скорость u равна средней скорости v , что не всегда можно сделать, ибо положение этой точки редко известно).

Высота потерь энергии на участке, ограниченном сечениями 1-1 и 2-2 , определится как разность уровней жидкости в трубках Пито, помещенных в эти сечения.

Если аналогичные измерения выполнить для множества промежуточных сечений и соединить плавной линией верхние мениски жидкости в трубках Пито, то мы получим линию a линией полного напора .

Соединяя плавной линией верхние мениски жидкости в пьезометрах мы получим линию b (см. Рис. 1.30), которую называют пьезометрической линией .

Линию, соединяющую центры тяжести сечений, называют осью потока .

Характер поведения этих линий по длине потока l определяется так называемыми уклонами.

Гидравлическим уклоном называют величину

, (1.123)

определяющую поведение линии полного напора.

Пьезометрический уклон

, (1.124)

определяет поведение пьезометрической линии.

Геометрический (геодезический) уклон

характеризует поведение оси потока.

В практических расчетах чаще используются средние значения уклонов, вычисляемые как отношение разностей соответствующих величин в начале и конце к длине потока.

Так как вдоль по потоку полная энергия его за счет потерь непрерывно уменьшается, то линия полного напора всегда понижается. Гидравлический уклон (1.124) всегда остается положительным.

Пьезометрическая линия может и понижаться, и повышаться. Ее поведение зависит как от потерь напора, так и от характера изменения кинетической энергии. При расширении канала скорость потока и скоростной напор уменьшаются. Если скорость уменьшения скоростного напора окажется выше, чем скорость уменьшения полного напора, то пьезометрическая линия будет подниматься.

Диаграммы напоров. В ряде задач гидравлики целесообразно бывает дать графическое изображение уравнения Бернулли для того или иного канала. Такие графики называют диаграммами напора. Они позволяют очень наглядно анализировать поведение каждого слагаемого в уравнении Бернулли при течении жидкости по каналу. С их помощью удобно также производить некоторые числовые расчеты. Обычно диаграммы строят по результатам конкретных расчетов, откладывая в масштабе для каждого сечения значения напоров. Рассмотрим принцип построения диаграммы.

Рис. 1.31. Диаграмма напоров

Пусть из открытого сосуда больших размеров жидкость вытекает в атмосферу по трубе переменного сечения (Рис. 1.31). Выберем в качестве плоскости отсчета произвольную горизонтальную плоскость 0-0. Построение диаграммы начнем с линии полного напора.

Для этого определим полный напор в сечении, совпадающем со свободной поверхностью жидкости в сосуде. Условимся в уравнении Бернулли и при построении пользоваться избыточными давлениями. Тогда на свободной поверхности .

Так как площадь сосуда значительно превосходит площадь сечения трубы, то в соответствии с уравнением расхода скорость жидкости в сосуде будет очень мала по сравнению со скоростью в трубе, а следовательно, можно пренебречь скоростным напором .

Таким образом, полный напор определяется лишь геометрическим напором (на диаграмме он отмечен точкой a ). Полные напоры в последующих сечениях будем оценивать как разность полного напора в предыдущем сечении и потерь напора на участке между этими сечениями

. (1.126)

Забегая несколько вперед, отметим, что различают два вида потерь напора: потери на трение, обусловленные вязкостью жидкости и местные потери, обусловленные резким изменением конфигурации потока, которые в отличие от потерь на трение (путевых) принято считать сосредоточенными в одном сечении потока. Потери на трение тем больше, чем больше длина канала и скорость потока и чем меньше сечение (диаметр) канала.

В сечении 1-1 сразу за входом потока из сосуда в трубу полный напор будет меньше напора в сосуде на величину местных потерь входа. Вычитая из полного напора в сосуде (точка a ) потери входа h 1 , получим точку b , определяющую полный напор в сечении 1-1.

На участке трубы между сечениями 1-1 и 2-2 будут происходить потери напора на трение. Так как труба на этом участке имеет постоянное сечение, то везде на единицу длины приходятся одинаковые потери, т. е. график полного напора будет иметь линейный характер. Вычитая из полного напора в сечении 1-1 величину потерь напора на трение на участке h 2 , получим полный напор в сечении 2-2 (точка с ). Соединив точки b и с прямой линией, получим график полного напора для первого участка трубы.

По аналогии с входом в трубу, вычитая из полного напора в сечении 2-2 (точка с ) местные потери при внезапном расширении потока h 3 , получим полный напор в сечении 3-3 за внезапным расширением (точка d ), вычитая из которого потери на трение на втором участке трубы h 4 , получим полный напор в выходном сечении 4-4 (точка е ).

При соединении точек d и е необходимо учесть, что потери на трение на единицу длины (гидравлический уклон) в начале участка (большие диаметры) будут меньше, чем в конце (малые диаметры). Следовательно, линия полного напора будет направлена выпуклостью вверх. Таким образом, получили линию полного напора abcde .

Перейдем теперь к построению пьезометрической линии. С этой целью из полного напора в каждом сечении будем вычитать скоростной напор, т. к.

. (1.127)

На свободной поверхности жидкости в сосуде скоростной напор равен нулю и пьезометрический напор совпадает с полным (точка а ).

На участке между сечениями 1-1 и 2-2 сечение трубы, скорость и скоростной напор остаются постоянными, и пьезометрическая линия () будет параллельна линии полного напора.

При переходе от сечения 2-2 к сечению 3-3 происходит резкое увеличение сечения, сопровождающееся уменьшением скорости и скоростного напора. Поэтому пьезометрический напор в сечении 3-3 определиться вычитанием из полного напора значительно меньшей величины (отрезок ), чем для сечения 2-2 (отрезок ).

На втором участке трубы сечение постепенно уменьшается, что приводит к постепенному возрастанию скорости и скоростного напора. Следовательно, в каждом последующем сечении из полного напора необходимо вычитать все большую и большую величину. Поэтому пьезометрическая линия непрерывно удаляется от линии полного напора. Заканчивается пьезометрическая линия в точке , совпадающей с центром тяжести выходного сечения 4-4. Это объясняется тем, что в выходном сечении снова действует атмосферное давление и пьезометрический напор по избыточному давлению равен нулю. Полный же напор складывается из геометрического и скоростного.

По аналогии с построением диаграммы напора по заданному профилю потока возможно решение и обратной задачи: построение конфигурации трубопровода по заданным диаграммам напора.

Примеры практического использования уравнения Бернулли . Уравнение Бернулли позволяет получить расчетные формулы для различных случаев движения жидкости и решить многие практические задачи. При этом следует иметь в виду, что оно справедливо только для установившихся потоков с плоскими живыми сечениями.

Для практического использования уравнения Бернулли при решении различных задач проводят два сечения и горизонтальную плоскость - плоскость сравнения. Последнюю, чтобы было меньше неизвестных, проводят через центр тяжести одного или, если это возможно, двух сечений, и тогда z 1 или z 2 (или оба) будут равны нулю. Сечения проводят нормально к направлению движения жидкости, а места их проведения выбирают так, чтобы сечения были плоскими, содержали неизвестные величины, подлежащие определению, и достаточное число известных величин. Обычно такими местами являются свободная поверхность жидкости, вход или выход из трубопровода, места подключения измерительных приборов и пр. Далее для выбранных сечений, которые нумеруются по ходу движения жидкости, записывается уравнение Бернулли, подставляются в него числовые значения величин и вычисляются искомые.

При решении некоторых задач приходится дополнительно использовать условие неразрывности (сплошности) течения и брать более двух сечений.

В уравнение Бернулли подставляются абсолютные давления. Покажем это на простейшем примере (Рис. 1.32). Пусть требуется определить скорость истечения жидкости из резервуара через отверстие в стенке при постоянном напоре (уровень жидкости в резервуаре постоянен).

Проводим сечение 1-1 по уровню жидкости в резервуаре и сечение 2-2 на выходе струи из отверстия. Проводим произвольную горизонтальную плоскость сравнения x0y . Известными величинами являются z 1 , z 2 (z 1 -z 2 = h ), p 1 = p 2 = p a (резервуар открыт и истечение происходит в атмосферу). Тогда, пренебрегая незначительными потерями напора при выходе струи из отверстия и принимая коэффициент a = 1, из уравнения (1.122) находим .

Измерение давлений и локальных скоростей. Покоящаяся жидкость не обладает кинетической энергией. Тогда интеграл Бернулли (1.118) примет вид

Обозначив давление на свободной поверхности жидкости p 0 , а ее координату z 0 (Рис. 1.33), уравнению (1.128) можем придать вид

Или . (1.129)

Обозначив глубину погружения точки (например, А ) под свободной поверхностью жидкости через h = z 0 - z , придадим (1.129) вид .

Последнее является основным уравнением гидростатики (1.26) и было получено ранее решением дифференциальных уравнений равновесия Эйлера.

Введем в точку В (Рис. 1.33) закрытый пьезометр , представляющий собой стеклянную трубку с запаянным верхним концом из которой удален воздух. Под действием давления в точке В жидкость поднимается на некоторую высоту h’ . Для ее вычисления запишем (1.26) для покоящейся жидкости в пьезометре. Так как из него удален воздух, то над жидкостью давление будет равно нулю.

Таким образом, высота поднятия жидкости в пьезометре в некотором масштабе (1:g ) определяет удельную потенциальную энергию состояния жидкости, а выражение (1.131) можно использовать для расчета давления, измеренного с помощью пьезометра. Формула (1.131) определяет способ пересчета давлений, выраженных высотой столба жидкости, в размерные единицы.

Так как (1.26) получена на основании (1.130), то легко видеть, что в какую бы точку данной покоящейся жидкости мы ни помещали пьезометр, сумма координаты z этой точки и высоты подъема жидкости в пьезометре остается постоянной, т. е. верхний мениск жидкости в пьезометре всегда будет находиться на одном и том же уровне. Горизонтальную плоскость a-a (Рис. 1.33), проведенную через верхние мениски жидкости в пьезометрах, называют напорной плоскостью , построенной по абсолютному давлению.

Закрытый пьезометр, как видим, измеряет абсолютное давление в жидкости. Избыточное давление можно измерить с помощью открытого пьезометра , представляющего собой стеклянную трубку, открытую с обоих концов.

Поместим открытый пьезометр (см. Рис. 1.33) в точку , расположенную на той же глубине под свободной поверхностью, что и точка В . Из (1.26) видно, что давления в точках и В будут одинаковы.

Над свободной поверхностью жидкости в пьезометре будет действовать атмосферное давление, поэтому на основании (1.26) можем написать , откуда

, (1.132)

т. е. высота поднятия жидкости в открытом пьезометре в масштабе (1:g ) измеряет ту же удельную потенциальную энергию состояния жидкости, но определенную по избыточному давлению.

Сказанное выше об уровнях жидкости в закрытых пьезометрах справедливо и для открытых, с той лишь разницей, что напорная плоскость по избыточному давлению (см. Рис. 1.33), проведенная через верхние мениски жидкости в открытых пьезометрах, будет расположена ниже плоскости a-a на высоту , в чем нетрудно убедиться с помощью (1.132) и (1.133).

Для измерения локальных скоростей в закрытых каналах, движение жидкости в которых называют напорным, используется трубка Пито-Прандтля, представляющая собой комбинацию трубки Пито и пьезометра (Рис. 1.34), которые обычно объединяются в одну конструкцию.

Трубка Пито-Прандтля вводится в поток таким образом, чтобы открытый конец трубки Пито был направлен перпендикулярно к вектору скорости, а открытый конец пьезометра - по касательной.

Как и в предыдущем случае, для трубки Пито справедливо условие

, (1.133)

только высота h и имеют здесь иной смысл (см. Рис. 1.34).

Поскольку жидкость проскальзывает около входного сечения пьезометра не затормаживаясь, то в нем будет действовать такое же давление, как и в движущейся жидкости, т. е. . Для него на основании (1.70) можем написать (т. к. на свободной поверхности жидкости в пьезометре действует атмосферное давление, как и в трубке Пито) уравнение

но в данном случае представляет собой высоту поднятия жидкости в пьезометре.

Выражение (1.134), справедливое и в рассматриваемом случае, после подстановки и приведет опять-таки к (1.135), а для практических расчетов необходимо писать

где с = 1,01…1,05; h - разность уровней жидкости в трубке Пито и пьезометре.

Измерение расхода. Трубка Пито-Прандтля служит для измерения локальных скоростей движения. В том случае, если известно живое сечение потока, расход может быть рассчитан по уравнению (1.26). Существуют приборы для непосредственного измерения расхода. Большое распространение в практике нашли расходомер Вентури и нормальная диафрагма (шайба).

Расходомер Вентури. Большим преимуществом этого прибора является простота конструкции и отсутствие каких-либо движущихся частей. Он может быть расположен горизонтально, вертикально и под любым углом, что принципиального значения не имеет. Рассмотрим расходомер с горизонтальной осью (Рис. 1.35).

Он состоит из двух цилиндрических труб А и В диаметром d 1 , соединенных посредством двух конических участков (патрубков) C и D с цилиндрической вставкой Е меньшего диаметра d 2 . В сечениях 1-1 и 2-2 к расходомеру присоединены пьезометры а и b , разность уровней жидкости в которых показывает разность давлений в этих сечениях.

Составляя уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 и пренебрегая очень небольшими на малой длине между этими сечениями потерями, получаем

, (1.136)

откуда , но и, следовательно, .

1) Система уравнений Навье - Стокса и уравнение неразрывности содержат 6 неизвестных: три компоненты вектора скорости плотность давление и коэффициент вязкости Коэффициент вязкости зависит только от температуры и считается обычно заданной функцией абсолютной температуры Г:

Это уравнение содержит новое седьмое неизвестное - абсолютную температуру Абсолютная температура связана с плотностью и давлением уравнением состояния:

В зависимости от характера среды функция имеет ту или иную структуру. В случае газов условимся уравнение состояния брать в форме Клайперона:

где газовая постоянная; в случае несжимаемой жидкости это уравнение заменяется условием

Итак, мы пришли к системе шести скалярных уравнений [три уравнения Навье - Стокса, уравнение неразрывности, уравнения ], которые содержат 7 неизвестных:

Для того чтобы задача могла быть поставлена, необходимо еще одно уравнение.

Таким замыкающим уравнением является уравнение баланса энергии. Будем следить за некоторой массой жидкости, занимающей объем Закон сохранения энергии утверждает, что изменение энергии этой массы жидкости за единицу времени равно мощности внешних сил, притоку энергии извне и мощности внутренних источников энергии:

Энергия массы жидкости состоит из двух слагаемых: кинетической энергии, т. е. энергии макроскопического движения частиц

Внутренней энергии, т. е. энергии теплового движения молекул газа или жидкости.

Для газов в общем случае выражение имеет довольно сложную структуру. Мы рассмотрим только случай «совершенного газа», т. е. газа, внутренняя энергия которого определяется только поступательным движением молекул. Это значит, что энергия вращательных степеней свободы молекул пренебрежимо мала по сравнению с энергией поступательного движения. Для этого случая термодинамика дает выражение

где теплоемкость газа при постоянном объеме, связанная с теплоемкостью при постоянном давлении формулой

величина «механический эквивалент тепла» Работа внешних сил складывается из работы массовых сил и работы поверхностных сил

где скорость движения жидких частиц, поверхность, ограничивающая объем

Будем считать, что приток энергии извне происходит только за счет теплопроводности. Тогда, согласно закону Фурье, количество теплоты, поступившее через поверхность в единицу времени (в механических единицах), определяется формулой

где коэффициент теплопроводности.

Подставляя в уравнение (35 выражения (36, (37) и (39) -(41), мы можем написать следующее (упрощенное) уравнение баланса энергии:

3) Уравнение - это уравнение баланса энергии в интегральной форме; для того чтобы получить дифференциальное уравнение, надо еще провести ряд преобразований. Прежде всего, заметим, что

(Эти преобразования являются прямым следствием уравнения неразрывности Далее преобразуем интегралы по поверхности, входящие в правую часть уравнения , в интегралы по объему. Прежде всего

Применив к этому интегралу формулу Гаусса - Остроградского, после очевидных вычислений получим

Аналогично преобразуем последнее слагаемое в уравнении

Используя формулы , преобразуем уравнение к виду

откуда, в силу произвольности объема получим следующее дифференциальное уравнение:

4) В уравнении (47) надо заменить компоненты тензора напряжений следующими выражениями:

Используя эти формулы и тождественное преобразование

где мы можем уравнению придать следующий вид:

5) Итак, мы получили уравнение, которое замыкает систему уравнений динамики жидкости и газа. Это уравнение можно было бы назвать обобщенным уравнением теплопроводности, поскольку уравнение распространения тепла содержится в нем как некоторый частный случай. В самом деле, предположим, что жидкость покоится; тогда уравнение (49) будет иметь вид

Если перепад температур мал, то коэффициент к можно считать независимым от координат и мы приходим к известному уравнению теплопроводности

где коэффициент носит название коэффициента температуропроводности.

Уравнение (50) описывает распространение тепла в покоящейся жидкости за счет механизма теплопроводности. Этот механизм обеспечивает мгновенную скорость распространения тепловых возмущений (см. рис. 5). Предположим, что частице жидкости, находящейся в момент времени в точке х, мы сообщили импульсное возмущение где - дельта-функция, равная нулю всюду, кроме точки и такая, что Тогда распределение температуры в любой момент времени описывается формулой

Мы видим, что каково бы ни было значение абсциссы в любой момент отличный от нуля, температура будет также отлична от нуля.

6) Рассуждения, которые были здесь проведены, относились к случаю покоящейся жидкости, причем молчаливо предполагалось, что если в начальный момент жидкость покоилась, то она будет покоиться и в последующие моменты времени. Это, вообще говоря, не так. В самом деле, если температура изменится, то, согласно уравнению состояния, изменятся плотность и давление, что в свою очередь вызовет движение жидкости. Таким образом, изменение температуры среды вызывает движение жидкости. Задачи распространения тепла и задачу о движении жидкости следует рассматривать совместно. Только в одном частном случае эти задачи могут быть разделены - в случае несжимаемой жидкости при предположении, что коэффициент вязкости не зависит от температуры. Тогда и задача о движении жидкости сводится к решению уравнения неразрывности

и уравнения Навье-Стокса

Определив из этих уравнений вектор и скаляр мы затем сможем определить поле температур из уравнения , которое в этом случае примет вид

7) Из уравнения (54) видно, что, помимо механизма теплопроводности, в распространении тепла играет роль конвективный перенос тепла - перенос за счет движения частиц жидкости. Поэтому тепловые возмущения могут распространяться также и внутри жидкости, лишенной теплопроводности Для того чтобы это пояснить, рассмотрим задачу о движении идеального нетеплопроводного газа, когда уравнение (49) принимает вид

Следуя закону сохранения энергии, составим баланс энергии для массы газа, заполняющей сначала объем 1 - 2, а через время dt объем 1" - 2" (рис. 3.3). Так как заштрихованный объем 1" - 2 y них общий, то приращение любого вида энергии равно разности энергии этого вида в бесконечно малых объемах 2 - 2" и 1 - 1".

Приращение кинетической энергии

Приращение потенциальной энергии

где Z 2 и Z 1 – высоты расположения сечений 1и 2, g – ускорение силы тяжести.

Приращение внутренней (тепловой) энергии

где u=С n T - внутренняя энергия единицы массы газа, равная произведению теплоемкости при постоянном давлении С n на абсолютную температуру. Если С n =const , то

При перемещении выделенного нами объема из состояния 1 - 2 в состояние 1" - 2" внешние силы совершают работу. Перенос газа из сечения 1 в 1" происходит как бы под действием поршня площадью F 1 c давлением Р 1 .

Работа поршня за время dt равна

Здесь использованы следующие соотношения

F 1 w 1 =V 1 - объем, который вытесняет поршень за 1 с; м 3 /c;

n 1 =V 1 /M - удельный объем м 3 /кг;

М - массовый расход, кг/c;

r 1 =1/n 1 плотность кг/м 3 ;

dМ - масса, которую вытесняет поршень за время dt

Аналогично для сечения 2. За время dt газ переместит поршень в положение 2", произведя над внешней средой работу, которую будем считать отрицательной,

Таким образом, энергия, внесенная силами давления, равна разности между работами поршня 1 и 2:

К газовой струйке на участке 1 - 2 за время dt может быть подведено тепло в количестве dQ . Газовая струйка может произвести техническую работу dL , например, вращая колесо турбины, установленное между сечениями 1 и 2. Следует также учесть энергию, расходуемую на преодоление сил трения dL тр. Согласно первому закону термодинамики, подведенные к газу тепловая энергия dQ и работа сил давления расходуются на совершение технической работы dL , работы сил трения dL тр , а также на повышение запасов потенциальной, внутренней и кинетической энергии:

Разделив все члены полученного выражения на dМ , получим уравнение энергии, записанное для 1 кг массы газа

где q - тепло, подводимое к 1 кг газа; dL - работа, совершаемая 1 кг газа; dL тр - работа по преодолению сил трения, приходящаяся на 1 кг газа.

Приток тепла q осуществляется двумя способами: извне (q нар ) - за счет теплообмена через боковую поверхность струйки или за счет выделения тепла в самой струйке в результате сгорания топлива и изнутри (q тр) - за счет преобразования в тепло работы трения L тр :

В дифференциальной форме

Наряду с уравнениями сохранения массы и импульса, которые были использованы выше для вывода уравнений неразрывности и движения, при описании сплошной среды используется также и уравнение энергии. Уравнение энергии рассмотрим для частного случае адиабатического процесса, когда отсутствует теплообмен между элементами сплошной среды. В этом случае изменение внутренней энергии Е элемента сплошной среды с массой (жидкой частицы) связано только с изменением его объема (при отсутствии объемных источников тепловыделения): . Вводя в рассмотрение энергию на единицу массы вещества , получим

Поскольку , то

.

В соответствии с уравнением неразрывности , поэтому

.

Данное уравнение описывает распределение объемной плотности внутренней энергии и его изменение, вызываемое деформацией и движением среды. Вместе с тем к изменению внутренней энергии могут приводить процессы, связанные с выделением или поглощением энергии, например при нагреве электрическим током или при химических реакциях. Для учета этих явлений модифицируем последнее уравнение добавлением в его правую часть слагаемого , имеющего размерность Вт/м 3 , описывающего скорость выделения или поглощения, в зависимости от знака, энергии в точках сплошной среды.

Таким образом, полная система уравнений динамики идеальной жидкости (газа) в адиабатическом режиме имеет вид

(58)

Последнее равенство есть уравнение состояния, замыкающее систему и определяющее конкретные физические свойства среды. Приведем примеры уравнения состояния:

1. Идеальный газ: , где - постоянная Больцмана, n - концентрация частиц в газе, M - масса частицы.

2. Несжимаемая жидкость:

3. Вода при высоких давлениях , где , - давление и плотность при нормальных условиях.

Последний пример показывает, что для увеличения плотности воды на 20 % необходимо избыточное давление . Возвращаясь к уравнению энергии, получаем

,

где вместо взято произведение концентрации частиц на массу частицы. Частицы газа в общем случае имеют s степеней свободы. На каждую степень свободы при термодинамическом равновесии приходится энергия . Тогда после подстановки выражения для внутренней энергии единицы массы идеального газа в уравнение энергии получим

,

, ,

где и - постоянные. Последнему равенству можно придать вид , где - показатель адиабаты. Постоянную можно определить из начальных условий . В результате уравнение адиабаты получит вид

Закон сохранения энергии. Энергетический баланс. Энергия, работа, тепло. Внутренняя энергия, потенциальная энергия, кинетическая энергия.

Уравнение Бернулли для газа. Уравнение энтальпии. Адиабатное течение. Энергоизолированное течение. Изоэнтропное течение.

Энергоизолированное изоэнтропное течение.

Изучение основных уравнений и зависимостей , применяемых в газовой динамике , удобно провести сначала для элементарной струйки или одномерного потока , а затем распространить их на более сложные виды движения.

Большое значение в газовой динамике имеет закон сохранения энергии . Он, как известно, констатирует тот факт, что

энергия не возникает и не исчезает, а только превращается из одного вида в другой .

Следовательно, составив баланс энергии для какого-нибудь количества газа, например, для единицы массы , можно найти соотношение между различными составляющими энергии. Такая математическая запись энергетического баланса и представляет собой уравнение энергии .

Составление баланса энергии рассмотрим на примере газотурбинной установки , схема которой изображена на рисунке 6 .

Через входное сечение 1 воздух из атмосферы поступает в компрессор, где сжимается и подается в камеру сгорания. Туда же, в камеру сгорания, поступает жидкое топливо, которое, смешавшись с воздухом, сгорает, выделяя большое количество тепла . Таким образом, в турбину из камеры сгорания поступают образовавшиеся там продукты сгорания с высокой температурой и высоким давлением. В турбине они расширяются, производя работу - вращая ротор. Часть работы турбины при помощи вала передается на вращение компрессора, другая часть отдается потребителю. Отработанные газы покидают турбину, выходя через сечение 2.

Энергия поступающего воздуха, отнесенная к единице массы , обозначена Е 1 , энергия выходящего газа - Е 2 .

Подведенное тепло обозначено Q е. Индекс «е » означает, что тепло подводилосьизвне (externus – лат. внешний , посторонний ).

Здесь нет никакого противоречия: несмотря на то, что сгорание происходило внутри камеры и тепло, подогревающее газ, выделялось именно там, энергия эта была внесена снаружи в скрытом виде, вместе с топливом. Следовательно, поскольку не ставится задача изучения физико-химических процессов горения, а рассматриваются только явления газодинамического характера, то можно считать, что тепло в количестве Q е было внесено в камеру сгорания снаружи.

Работа на валу установки , отданная потребителю, обозначена L. Она также отнесена к единице массы проходящего через установку воздуха.

На рисунке 7 изображена упрощенная схема течения . На расчетном участке между сечениями 1 и 2 , так же как и в предыдущем случае, подводится тепло и отводится механическая работа . Следовательно, для упрощенной схемы баланс энергии будет таким же, как и для газотурбинной установки , но пользоваться этой схемой проще и удобнее.

Баланс энергии для рассматриваемой схемы течения можно записать следующим уравнением:

Е 1 - Е 2 + Q е - L = 0. (2.1)

Далее необходимо расшифровать, что подразумевается под полным запасом энергии единицы массы газа Е. При этом нужно иметь в виду, что в «полный запас энергии» нет надобности включать все ее составляющие (например, химическую, электрическую, внутриядерную); вполне достаточно принимать в расчет только те ее виды, которые могут превращаться один в другой в пределах изучаемых газодинамических задач. Тогда можно записать, что

E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz, (2.2)

где u – внутренняя энергия единицы массы газа;

p/ρ – потенциальная энергия давления единицы массы газа;

w 2 /2 – кинетическая энергия единицы массы газа;

gz– потенциальная энергия положения (уровня) единицы массы газа;

z – геометрическая высота ;

g – ускорение силы тяжести .

Все указанные величины измеряются в единицах работы на единицу массы , а именно в дж/кг или, что то же самое, в м 2 /сек 2 (в системе СИ).

Подставив в уравнение (2.1) значения Е 1 и Е 2 , выраженные с помощью уравнения (2.2), и учитывая, что разность внутренних энергий u 1 – u 2 = C v (T 1 -Т 2) , получим

C v (T 1 -Т 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 +(w 1 2 - w 2 2)/2+g(z 1 -z 2) +Q е -L=0. (2.3)

Это и есть уравнение энергии для одномерного потока или для элементарной струйки . Оно показывает, как происходит изменение внутренней энергии C v (T 1 -Т 2) , потенциальной энергии давления p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 , кинетической энергии (w 1 2 - w 2 2)/2, потенциальной энергии положения g(z 1 -z 2) в результате действия подведенного извне тепла Q е и работы L , отданной газом внешнему потребителю. Изменение внутренней энергии связано с изменением температуры газа, кинетической энергии - с изменением скорости потока, потенциальной энергии уровня - с изменением высоты положения рассматриваемой массы газа над плоскостью, принятой за начало отсчета. Что касается изменения потенциальной энергии давления , то оно требует специальных разъяснений.

На рисунке 8 изображен расчетный участок потока, ограниченный на входе сечением 1 и на выходе - сечением 2.

При входе газа через сечение 1 силы внешнего давления р 1 F 1 , вталкивая в расчетный, участок объем газа F 1 Δx 1 , совершают работу p 1 F 1 Δx 1 .

При выходе из расчетного участка, через сечение 2 объем газа F 2 Δx 2 совершает работу против сил внешнего давления p 2 F 2 Δх 2 . Поделив эти работы на массу газа в соответствующих объемах, получим

L вт = p 1 F 1 Δx 1 / ρ 1 F 1 Δx 1 = p 1 /ρ 1 ,

L выт = p 2 F 2 Δx 2 / ρ 2 F 2 Δx 2 = p 2 /ρ 2.

Следовательно, p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 =L вт -L выт представляет собой разницу работ вталкивания и выталкивания единицы массы газа. Эта величина характеризует накопление (если p 1 /ρ 1 >p 2 /ρ 2 ) потенциальной энергии давления или расходование ее (если p 1 /ρ 1

) потоком газа, находящимся внутри расчетного участка.

Изменение потенциальной энергии уровня g(z 1 -z 2 ) в задачах, связанных с расчетом теплоэнергетических машин или установок, как правило, составляет пренебрежимо малую величину по сравнению с другими членами уравнения энергии. Оно обычно не превышает 50…100 м 2 /сек 2 , тогда как другие члены имеют порядок 10 000…100 000 м 2 /сек 2 . Поэтому во всех дальнейших рассуждениях и расчетах величина g(z 1 -z 2 ) будет отброшена. Однако, нужно обратить внимание на задачи такого рода, как расчет вентиляционных систем шахт, в которых изменение потенциальной энергии уровня весьма велико и может превышать значения других членов уравнения энергии. В этих случаях величина g(z 1 -z 2 ) должна учитываться обязательно.

Уравнению энергии можно придать другую, во многих случаях более удобную для расчетов форму . Преобразуем сумму членов

C v (T 1 -Т 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 = (C v T 1 +p 1 /ρ 1) -(C v T 2 +p 2 /ρ 2)=

=(C v T 1 +RT 1) -(C v T 2 + RT 2)= (C v +R)(T 1 -Т 2) = C p (T 1 -Т 2) ,

используя известное из термодинамики соотношение C p –C v =R , и подставим полученное выражение в уравнение (2.3). Тогда уравнение энергии можно записать более компактно

C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q е - L = 0, (2.4)

а главное, три термодинамических параметра p, ρ и T теперь можно заменить всего лишь одним – энтальпией h=C р Т . («Три в одном»!)

(2.5)

Этот вид уравнения энергии называют еще уравнением энтальпии или теплосодержания , так как в него входит энтальпия h.

В уравнении энергии принято следующее правило знаков. Подведенное внешнее тепло считается положительным, а отведенное - отрицательным; работа, совершенная газом и отведенная к внешнему потребителю, - положительной, а подведенная к газу извне и затраченная на его сжатие - отрицательной. Таким образом, в нагревателе газа (камере сгорания) тепло считается положительным , в охладителе - отрицательным ; работа , получаемая в турбине , - положительной , а затрачиваемая на вращение компрессора - отрицательной . Это правило знаков согласуется с уравнением первого закона термодинамики .

Уравнение энергии часто применяется в дифференциальной форме . Чтобы получить его в этой форме, воспользуемся таким приемом. Будем мысленно приближать второе сечение к первому, уменьшая длину расчетного участка до бесконечно малой величины . Тогда в пределе получим вместо Q е и L соответственно dQ е и dL , авместо конечных разностейТ 1 –Т 2 и (w 1 2 - w 2 2)/2 получим соответствующие дифференциалы –dТ и – d(w 2 /2) .

В последних двух выражениях знак минус появился потому, что берутся бесконечно малые разности T 1 -Т 2 и (w 1 2 - w 2 2)/2 , а не T 2 -Т 1 и (w 2 2 - w 1 2)/2 .

Подставив это в уравнение энергии (2.4) и поменяв знаки на обратные , получим уравнение энергии в дифференциальной форме или дифференциальное уравнение энергии

(2.6)

Если сопоставить выражение для полного запаса энергии (2.2)

E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz,

с левой частью уравнения Бернулли , которая также представляет величину полного запаса энергии единицы массы несжимаемой жидкости

p/ρ + w 2 /2 + gz = const,

то можно заметить, что в случае газа дополнительно введена величина внутренней энергии u. Это объясняется тем, что при ρ≠соnst тепловые процессы оказывают влияние на плотность газа, и так как его расширение или сжатие связано с работой, то в конечном итоге это влияние распространяется на механические составляющие энергии. Таким образом, в уравнениях энергии (2.4) и (2.5) присутствуют величины, имеющие как механическое , так и тепловое (калорическое) происхождение.

Еще одной разновидностью уравнения энергии является обобщенное уравнение Бернулли для газа . От уравнений (2.4) или (2.5) оно отличается тем, что все входящие в него слагаемые имеют механическое происхождение . Это уравнение можно получить следующим путем. Воспользуемся тем же самым приемом, с помощью которого выше было получено дифференциальное уравнение энергии (2.6) и представим уравнение (2.3) в дифференциальном виде :

(2.7)

Количество тепла Q , воспринимаемое газом , и количество теплаQ е , подводимое к нему извне , в общем случае не одинаковы : существует еще теплота тренияQ r , которая выделяется вследствие трения газа о стенки, внутреннего трения (возникающего между слоями, движущимися с разными скоростями), образования вихрей и т.п. Это тепло также воспринимается газом . Поэтому

Q = Q е + Q r = Q е + L r . (2.8)

dQ е = dQ – dL r , (2.9)

где L r - работа трения (в системе единиц СИ Q r =L r ).

Количество тепла, воспринимаемое газом , можно определить с помощью уравнения первого закона термодинамики

dQ = C v dT + pdv. (2.10)

Подставив это выражение в формулу (2.9), получим

C v dT = dQ e + dL r -pdv. (2.11)

Кроме того,

d(p/ρ)=d(pv)=pdv+vdp/. (2.12)

После подстановки формул (2.11) и (2.12) в уравнение энергии (2.7) и замены удельного объема через плотность v=1/ρ получаем уравнение Бернулли для газа в дифференциальной форме

dp/ρ+d(w 2 /2)+dL+dL r =0. (2.13)

При решении конкретных задач уравнение Бернулли интегрируют в пределах от начального сечения расчетного участка до конечного

(2.14)

Если в процессе решения нужно получить параметры потока в каком-нибудь промежуточном сечении расчетного участка, то при интегрировании это сечение принимается за конечное. При решении можно брать неопределенный интеграл. Константа интегрирования определяется тогда из граничных условий, в качестве которых обычно берут условия на входе в расчетный участок.

Для того чтобы вычислить ∫(dp/ρ) , надо знать зависимость между р и ρ , т.е. иметь уравнение термодинамического процесса, при котором происходит течение газа, например уравнение политропы p/ρ n =const . Если известен термодинамический процесс, то известен и показатель политропы. При политропном процессе интегрирование дает

при изотермном процессе (n=1 )

1 2 ∫(dp/ρ)=(p 1 /ρ 1)ℓn(p 2 /p 1)=RT 1 ℓn(p 2 /p 1). (2.16)

Сопоставляя между собой уравнение энергии и уравнение Бернулли , например (2.4) и (2.14), можно заметить, что первое учитывает внешнее тепло, но не содержит работы трения в явном виде, тогда как второе не содержит в явном виде внешнего тепла, но учитывает работу трения. Поэтому создается впечатление, что эти уравнения не учитывают всех особенностей течения. В действительности это не так. Хотя работа трения и не входит явно в уравнение энергии, но ее влияние сказывается, прежде всего, на температуре Т 2 .

Что касается уравнения Бернулли, то в нем внешнее тепло учитывается при вычислении ∫(dp/ρ) , а именно, от количества подведенного тепла зависит величина показателя политропы n .

Рассмотрим уравнения энергии для частных случаев течения газа .

Адиабатное ( или адиабатическое ) течение . Такое течение происходит без внешнего подвода или отвода тепла , т.е. Q е =0 . Относительно внутреннего теплоподвода (тепла трения Q r ) никаких оговорок не делается, т.е. оно либо присутствует, либо равно нулю. Уравнение энергии в этом случае имеет вид:

(2.17)

а уравнение Бернулли сохраняет форму (2.14)

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L+ L r =0.

Уравнение (2.17) имеет большое значение в экспериментальной практике. Им пользуются, например, при экспериментальном определении работы турбины или компрессора, когда непосредственное определение мощности по крутящему моменту и числу оборотов затруднительно по техническим причинам. Для этого необходимо только измерить температуры и скорости газа на входе в машину и выходе из нее и произвести вычисление по формуле (2.17). Заметим, что практически дело обстоит еще проще. Измеряются не температуры газа и скорости раздельно, а температуры торможения .

Энергоизолированное течение . Такое течение происходит без внешнего теплообмена (Q е =0 ) и без подвода или отвода внешней механической работы (L=0 ), т.е. без обмена энергией с внешней средой на участке между входным и выходным сечением. Уравнение энергии для энергоизолированного течения записывается так:

(2.18)

C p T 1 + w 1 2 /2 = C p Т 2 + w 2 2 /2. (2.19)

Смысл последнего равенства состоит в том, что при энергоизолированном течении полный запас энергии единицы массы газа остается неизменным, так как на расчетном участке энергия извне не подводится и не отводится во внешнюю среду.

Уравнение Бернулли для этого вида течения приобретает вид:

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L r =0. (2.20)

Моделью энергоизолированного потока пользуются при расчете диффузоров, неохлаждаемых сопел и других неподвижных каналов, в которых теплообмен с внешней средой пренебрежимо мал.

Изоэнтропное (или изоэнтропийное или изоэнтропическое ) течение . Такое течение происходит при постоянной энтропии S=соnst . Для постоянства энтропии необходимо выдержать условие Q=0 . Из формулы (2.8) следует, что это может быть при Q е =0,Q r =0 или при Q е = – Q r . Второй случай предусматривает теплоотвод во внешнюю среду, в точности равный теплоподводу от трения. Такой точный тепловой баланс редко может встречаться в практике, а потому здесь не рассматривается. Таким образом, можно считать, что течение будет изоэнтропным в том случае, если отсутствует трение и внешний теплообмен . Для этого вида течения уравнение энергии записывается так же, как и для адиабатного течения (см. формулу (2.17))

C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 - L = 0,

а уравнение Бернулли имеет вид:

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L=0. (2.21)

При вычислении интеграла здесь нужно иметь в виду, что р и ρ связаны уравнением изоэнтропы p/ρ k =const . Моделью изоэнтропного потока пользуются при теоретических расчетах и исследованиях идеальных компрессоров и турбин.

Энергоизолированное изоэнтропное течение . Такое течение происходит без энергетического обмена с внешней средой (Qе=0, L=0 ) и без трения (Lr=Qr=0 ). При этом автоматически соблюдаются условия изоэнтропности (изоэнтропийности ) процесса. Уравнение энергии имеет тот же вид, что и для энергоизолированного течения (2.18) или (2.19)

C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 = 0,

C p T 1 + w 1 2 /2 = C p Т 2 + w 2 2 /2,

а уравнение Бернулли записывается так:

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 =0. (2.22)

Здесь также при вычислении интеграла связь между давлением и плотностью устанавливается уравнением изоэнтропы . Этот частный случай применяется довольно широко. Например, в теоретической газодинамике большинство задач рассматривается в предположении именно такого вида течения .

В дифференциальной форме уравнения (2.18) и (2.22) имеют следующий вид:

C p dT + d(w 2 /2) = 0, (2.23)

dp/ρ + d(w 2 /2) = 0. (2.24)

Рассмотрим еще две весьма употребительных формы записи уравнения Бернулли для энергоизолированного изоэнтропного течения . Интегрируя уравнение (2.24), имеем

∫(dp/ρ) + w 2 /2 = const.

Используя уравнение изоэнтропы

p/ρ k = B = const,

и следующие очевидные соотношения

ρ k = (p/B); ρ = (p/B) 1/ k ; B 1/ k = (p/ρ k) 1/ k =p 1/ k /ρ;

найдем значение интеграла

∫(dp/ρ) =∫(dp/(p/B) 1/ k)= B 1/ k ∫(dp/p 1/ k)= B 1/ k ∫p -1/ k dp=

= B 1/k p (1-1/k) /(1-1/k)= p 1/k ∙ p (1-1/k) ∙ k/ρ∙(k-1) =

=(k/(k-1))(p 1/k ∙ p (k-1)/k /ρ) = (k/(k-1)) p/ρ.

и, подставив его в предыдущее уравнение, получим

(k/(k-1)) p/ρ + w 2 /2 = const. (2.25)

Если сопоставить уравнение (2.25) с уравнением Бернулли для горизонтального течения идеальной несжимаемой жидкости

p/ρ + w 2 /2 = const,

то можно заметить, что они отличаются только первым слагаемым: для газа коэффициент, стоящий перед p/ρ равен k/(k-1) тогда как для несжимаемой жидкости он равен 1 . Таким образом, величина k/(k-1) учитывает влияние сжимаемости .

Если воспользоваться соотношением, с помощью которого определяется скорость распространения звука a 2 = kRT= kp/ρ , и преобразовать первое слагаемое уравнения (2.25), то последнее приобретает вид:

a/(k-1) + w 2 /2 = const. (2.26)

Эта форма записи уравнения Бернулли широко применяется в теоретической газодинамике .

G p/ρ k =const. p/ρ = RT. a= √kRT. a 2 = kRT= kp/ρ.

Е 1 - Е 2 + Q е - L = 0. E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz.

C v (T 1 -Т 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 +(w 1 2 - w 2 2)/2+g(z 1 -z 2) +Q е -L= 0.

C v dT + d(p/ρ) + d(w 2 /2) - dQ е + dL = 0.

C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q е - L = 0.

h 1 -h 2 + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q е - L = 0.

C p dT + d(w 2 /2) - dQ е + dL = 0.

dp/ρ+d(w 2 /2)+dL+dL r =0.

(k/(k-1)) p/ρ + w 2 /2 = const. a/(k-1) + w 2 /2 = const.

p/ρ + w 2 /2 = const.

Баланс энергии можно составить для любой схемы течения. Пример с газотурбинной установкой взят потому, что в нем присутствуют все составляющие энергетического баланса, рассматриваемые в газодина­ми­ческих задачах.

Необходимо заметить, что это уравнение было получено в наши дни. Имя Даниила Бернулли ему присвоено потому, что оно является обобщением известного в гидродинамике уравнения Бернулли на случай течения газа.

Берется неопределенный интеграл.